1. Relier les douze leçons

Cette révision réunit les outils étudiés dans la première unité.
Le but est de choisir une méthode à partir du sens du problème, puis de vérifier le résultat.
Travaillez sur papier, sans chercher la vitesse.
Pour chaque exercice, cachez la correction, écrivez votre raisonnement et annoncez l’unité.
Vous pouvez répartir cette révision sur plusieurs séances.
Revenir à une leçon est une étape normale du travail, surtout après une longue interruption des études.

2. Une méthode commune à tous les problèmes

Suivez cinq étapes :
lire, organiser, calculer, contrôler et expliquer.
Lire signifie nommer la question et les données.
Organiser signifie identifier les grandeurs, les unités et l’opération appropriée.
Calculer signifie écrire les étapes sans perdre un signe.
Contrôler signifie utiliser un ordre de grandeur ou une opération inverse.
Expliquer signifie donner une phrase finale avec son unité.
Si une donnée manque, dites-le :
une formule ne peut pas inventer cette donnée.

3. Lire avant de calculer

Dans 18,06 mm, le 6 représente six centièmes de millimètre.
Dans 18,6 mm, il représente six dixièmes.
Écrire 18,60 permet de comparer les positions :
18,06 < 18,60.
Ajouter un zéro final ne change pas la valeur ;
supprimer un zéro de position peut la changer.
La valeur du chiffre dépend donc de sa place.
Une mesure doit conserver son unité, et des valeurs exprimées dans des unités différentes demandent une conversion avant comparaison.

Classez 7,09 ; 7,9 ; 7,90 dans l’ordre croissant. Expliquez où se trouvent les dixièmes et les centièmes.

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7,09 < 7,9 = 7,90.
Les trois parties entières sont identiques.
7,09 contient neuf centièmes ;
les deux autres contiennent neuf dixièmes.
Deux écritures différentes peuvent donc désigner exactement la même valeur.

4. Suivre un stock avec les décimaux

Additionner réunit des quantités de même nature ;
soustraire retire une quantité ou mesure un écart.
Pour les décimaux, alignez les virgules.
Une retenue regroupe dix unités d’une position dans la position supérieure ;
un emprunt fait l’échange inverse.
Écrire 20,00 comme une dizaine, neuf unités, neuf dixièmes et dix centièmes conserve bien vingt.
Cette compréhension rend les soustractions avec plusieurs zéros moins mystérieuses.

Une réserve contient 20 m. On affecte 7,85 m puis on ajoute 2,4 m. Quelle longueur reste disponible ? Écrivez une vérification.

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20,00 − 7,85 = 12,15 m ;
puis 12,15 + 2,40 = 14,55 m.
Contrôle :
14,55 − 2,40 + 7,85 = 20,00 m.
On parle ici de longueurs affectées, sans modéliser les pertes d’une découpe réelle.

5. Multiplier, partager et décider

La multiplication compte des groupes identiques.
La division peut chercher la quantité par groupe ou le nombre de groupes.
Le reste n’est pas une partie décimale du quotient entier :
53 = 6 × 8 + 5 signifie huit groupes complets et cinq objets restants.
Pour commander assez de boîtes entières, vérifiez la capacité obtenue ;
arrondir au nombre entier le plus proche peut laisser un manque.
Le sens de la question décide du traitement du résultat.

Il faut préparer 9 kits de 14 vis. Les boîtes contiennent 25 vis. Combien faut-il de boîtes et combien de vis resteront ?

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9 × 14 = 126 vis.
Cinq boîtes donnent 125 vis :
il manque une vis.
Six boîtes donnent 150 vis et il reste 150 − 126 = 24 vis.
Le quotient théorique 126 ÷ 25 = 5,04 ne permet pas de commander une fraction de boîte.

6. Respecter la structure des opérations

Dans une expression, les parenthèses définissent un groupe.
À l’intérieur de chaque groupe, les puissances passent avant les produits et quotients ;
ceux-ci passent avant les sommes et différences.
À priorité égale, suivez la lecture de gauche à droite.
Recopiez toute l’expression après chaque remplacement.
Le signe = affirme une même valeur, pas simplement le passage à l’étape suivante.
Expliquez les groupes avec la situation réelle avant de commencer.

Calculez 50 − 3 × (4 + 2) + 8 ÷ 2. Quelle opération commence le travail ?

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La parenthèse donne 6.
L’expression devient 50 − 3 × 6 + 8 ÷ 2, puis 50 − 18 + 4, puis 36.
Les deux calculs prioritaires séparés peuvent se faire indépendamment.
Ne transformez pas 50 − 18 + 4 en 50 − (18 + 4).

7. Position, variation et nombres signés

Une position se mesure par rapport à une origine ;
une variation est valeur finale moins valeur initiale.
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Ainsi 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Pour un produit ou un quotient, deux signes identiques donnent un résultat positif ;
cela ne constitue pas une règle d’addition.
Placez les valeurs sur une droite si vous hésitez.
Une distance est non négative, alors qu’un déplacement peut porter un signe.

Un chariot passe de −7 mm à +2 mm. Calculez sa variation et la distance entre ces positions.

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La variation vaut 2 − (−7) = +9 mm.
La distance entre les positions est 9 mm.
Contrôle :
−7 + 9 = 2.
Le signe positif indique le sens choisi ;
la distance n’a pas ce signe de direction.

8. Identifier le tout d’une fraction

Le dénominateur indique le nombre de parts égales dans une unité ;
le numérateur compte les parts retenues.
Le tout doit être annoncé.
Trois quarts de 20 m et trois quarts de 40 m donnent des longueurs différentes.
Multiplier ou diviser les deux termes par un même facteur non nul conserve la valeur.
Simplifier ne signifie jamais retirer un même nombre.
Une fraction peut dépasser un, comme 7/4 = 1 + 3/4.

Un lot de 60 pièces est préparé aux 2/5. Combien de pièces sont préparées et combien restent ?

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Un cinquième vaut 60 ÷ 5 = 12 pièces.
Deux cinquièmes valent 24 pièces ;
il reste 36 pièces.
Contrôles :
24 + 36 = 60 et 24/60 = 2/5.
Le nombre 24 porte l’unité pièces ;
2/5 décrit la part du lot.

9. Choisir la bonne règle pour les fractions

Pour une somme ou une différence, transformez les fractions en parts de même taille.
Pour un produit, multipliez les numérateurs et les dénominateurs.
Pour une division par une fraction non nulle, multipliez par l’inverse du diviseur.
L’opposé et l’inverse répondent à deux questions différentes :
l’opposé annule une somme, tandis que l’inverse produit un.
Ne simplifiez que des facteurs d’un produit, jamais des termes séparés par une addition.

On réserve successivement 1/4 puis 1/3 du même créneau de 24 minutes. Quelle fraction et quelle durée restent ?

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1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12.
Il reste 5/12, soit 24 × 5/12 = 10 minutes.
Contrôle par les durées :
6 + 8 + 10 = 24 minutes.
La somme suppose deux réservations sans chevauchement.

10. Conserver l’exact avant d’arrondir

Une fraction et une écriture décimale peuvent représenter le même nombre.
3/8 = 0,375 est exact.
En revanche 1/3 ≈ 0,33 est une approximation.
Arrondir choisit la valeur la plus proche à la position demandée ;
tronquer supprime les chiffres suivants.
Dans les nombres positifs de ces exercices, un chiffre suivant de cinq ou plus fait augmenter la position gardée.
Conservez la valeur exacte dans les calculs intermédiaires quand c’est possible.

Convertissez 5/8 m en décimal exact, puis arrondissez au centième. Comparez avec la troncature au centième.

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5/8 = 0,625.
L’arrondi au centième vaut 0,63 selon notre convention scolaire ;
la troncature vaut 0,62.
Ces deux valeurs sont approchées.
Contrôle exact :
0,625 × 8 = 5.
Ne remplacez pas l’égalité exacte par 5/8 = 0,63.

11. Distinguer ratio et part du total

Le ratio A:B = 2:3 compare deux catégories.
Il contient cinq parts au total :
A représente 2/5 du total, et non 2/3 du total.
Un rapport entre grandeurs de même nature demande des unités communes.
Pour tester une proportionnalité, vérifiez un coefficient constant ou justifiez la répétition de groupes identiques.
Une augmentation régulière par addition ne suffit pas :
un temps fixe peut empêcher la proportionnalité.

Répartissez 45 éléments au ratio A:B = 2:3. Vérifiez le total et le ratio.

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Cinq parts donnent 45 ÷ 5 = 9 éléments par part.
A reçoit 18 et B reçoit 27.
Le total est 45, et 18/27 = 2/3.
Pour des pièces entières, ce total convient ;
un total de 46 ne donnerait pas la même répartition exacte en nombres entiers.

12. Justifier la règle de trois

La règle de trois trouve une valeur manquante dans une relation proportionnelle.
Passez d’abord par une unité et nommez le coefficient avec son unité.
Une cadence constante sans arrêt peut justifier le modèle ;
une durée qui comprend une préparation fixe ne le justifie pas.
Les contrôles numériques confirment le calcul, mais ne prouvent pas que le modèle décrit la situation.
C’est le contexte qui fournit cette condition.

Une ligne produit 84 pièces en 12 minutes à cadence constante sans arrêt. Combien en 30 minutes ?

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84 ÷ 12 = 7 pièces par minute, puis 7 × 30 = 210 pièces.
Contrôle :
210 ÷ 30 = 7.
Avec une préparation fixe comprise dans les 12 minutes, ces données seules ne suffiraient plus pour utiliser cette règle.

13. Retrouver la base d’un pourcentage

Un pourcentage indique une part par rapport à une base.
Pour 12 %, le coefficient de la partie est 0,12 ;
celui d’une baisse de 12 % est 0,88.
Distinguez le montant de la variation et la valeur finale.
Pour retrouver une base, divisez par le coefficient applicable, s’il est non nul.
Deux variations successives utilisent deux bases différentes ;
elles ne s’additionnent donc pas automatiquement.
Des points de pourcentage ne sont pas un taux de variation relative.

Un prix final de 170 euros résulte d’une remise de 15 %. Retrouvez le prix initial et le montant de la remise.

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Le prix final représente 85 % de l’initial.
L’initial vaut 170 ÷ 0,85 = 200 euros.
La remise vaut 30 euros.
Contrôle :
200 × 0,15 = 30 et 200 − 30 = 170.
Ajouter 15 % de 170 donnerait 195,50 euros :
ce serait une autre base.

14. Relier les puissances aux grandeurs

Un exposant compte des facteurs pour une puissance entière positive.
Un exposant négatif d’une base non nulle donne un inverse, pas nécessairement un nombre négatif.
La racine carrée est le nombre non négatif dont le carré redonne la valeur.
En notation scientifique, le coefficient positif normalisé est compris entre un inclus et dix exclu.
Reconstruisez le nombre avec la puissance de dix et gardez son unité.
Des parenthèses changent le rôle d’un signe moins.

Une surface carrée vaut 0,0064 m². Trouvez le côté et écrivez-le en notation scientifique.

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0,08 × 0,08 = 0,0064 :
le côté vaut 0,08 m, soit 8 × 10^(−2) m.
Le côté est une longueur, pas une aire.
Contrôle :
(8 × 10^(−2))^2 = 64 × 10^(−4) = 0,0064.
Ce calcul géométrique ne définit aucune tolérance de fabrication.

15. Préparer le bilan final

Choisissez un exercice que vous avez réussi et expliquez-le oralement en français.
Puis choisissez une erreur et écrivez sa cause :
lecture, méthode, calcul, signe ou unité.
Reprenez la leçon correspondante, faites un calcul voisin et vérifiez-le.
Le bilan final contient deux questions pour chacune des douze leçons.
Votre première réponse à chaque question reste distinguée du résultat après correction :
progresser ne doit pas effacer ce qui avait besoin de travail.