1. Comprendre une variation régulière1. فهم التغير المنتظم

Une relation permet de relier une valeur d’entrée à une valeur de sortie.
Dans certains modèles, ajouter toujours la même quantité à l’entrée produit toujours la même variation de sortie.
Cette régularité conduit à une droite et à un nombre appelé pente.
Le cours précédent construisait des couples et les plaçait dans un repère ;
nous allons maintenant expliquer comment calculer ce nombre, interpréter son signe et retrouver une équation.
L’objectif est de comprendre chaque opération avant d’utiliser une formule abrégée.تتيح العلاقة ربط قيمة مدخلة بقيمة مخرجة.
في بعض النماذج، تؤدي إضافة المقدار نفسه دائمًا إلى المدخلات إلى إحداث التغير نفسه دائمًا في المخرجات.
يقود هذا الانتظام إلى تشكّل مستقيم وإلى عدد يُعرف باسم "الميل".
لقد قمنا في الدرس السابق بتكوين أزواج من القيم وتمثيلها في معلم (نظام إحداثيات)؛
وسنشرح الآن كيفية حساب هذا العدد، وتفسير إشارته، واستنتاج المعادلة.
الهدف هو فهم كل عملية قبل استخدام صيغة مختصرة.

Considérons y = 2 × x + 1.
Lorsque x passe de 1 à 2, y passe de 3 à 5.
Lorsque x passe de 2 à 3, y passe de 5 à 7.
Une unité supplémentaire de x correspond chaque fois à deux unités supplémentaires de y.
La pente vaut donc 2.
Le terme fixe 1 joue un autre rôle :
il donne la valeur de y lorsque x vaut zéro.
Confondre ces deux nombres empêcherait de décrire correctement la relation.لننظر في y = 2 × x + 1.
عندما تتغير x من 1 إلى 2، تتغير y من 3 إلى 5.
عندما ينتقل x من 2 إلى 3، ينتقل y من 5 إلى 7.
تقابل كل وحدة إضافية من x وحدتان إضافيتان من y؛
وبالتالي فإن قيمة الميل هي 2.
يؤدي الحد الثابت 1 دوراً آخر:
فهو يحدد قيمة y عندما تكون قيمة x صفراً.
إن الخلط بين هذين العددين سيحول دون وصف العلاقة بشكل صحيح.

2. Objectifs, prérequis et vocabulaire précis2. الأهداف والمتطلبات القبلية والمصطلحات الدقيقة

Vous devrez calculer une pente à partir de deux points distincts, reconnaître une pente positive, négative ou nulle, identifier une valeur initiale et écrire une relation affine simple.
Vous devrez conserver le même ordre dans les deux différences, vérifier une équation par substitution et donner l’unité du coefficient lorsque les axes représentent des grandeurs physiques.
Les prérequis sont les nombres signés, les fractions, les coordonnées, les tableaux de valeurs et l’isolement d’une inconnue.
Les exemples de réservoir sont fictifs et ne constituent pas des consignes de fonctionnement.سيتعين عليك حساب الميل انطلاقاً من نقطتين متميزتين، وتمييز ما إذا كان الميل موجباً أو سالباً أو معدوماً، وتحديد القيمة الأولية، وكتابة علاقة تآلفية بسيطة.
يجب عليك الحفاظ على الترتيب نفسه عند حساب الفرقين، والتحقق من صحة المعادلة عن طريق التعويض، وتحديد وحدة المعامل عندما تمثل المحاور مقادير فيزيائية.
تشمل المتطلبات القبلية:
الأعداد الموجهة (ذات الإشارة)، والكسور، والإحداثيات، وجداول القيم، وعزل المجهول.
أمثلة الخزانات المذكورة هي أمثلة افتراضية ولا تشكل تعليمات تشغيلية.

En mathématiques françaises, une fonction linéaire s’écrit y = a × x et passe par l’origine.
Une fonction affine s’écrit y = a × x + b ;
elle inclut les fonctions linéaires lorsque b vaut zéro.
Le titre du cours utilise le mot « linéaires »
au sens courant de relations représentées par des droites ;
nous garderons la distinction mathématique dans les explications.
Le coefficient a est la pente, aussi appelée coefficient directeur, et b est l’ordonnée à l’origine.
Ici ces lettres désignent des paramètres, pas des noms de points.في الرياضيات الفرنسية تكتب الدالة الخطية y = a × x وتمر بنقطة الأصل.
تتم كتابة دالة تآلفية y = a × x + b ;
وتتضمن دوالًا خطية عندما يكون b صفرًا.
يستخدم عنوان الدورة كلمة "خطي" بالمعنى الشائع للعلاقات التي تمثلها الخطوط المستقيمة؛
وسنحتفظ بالتمييز الرياضي في الشروحات.
المعامل a هو الميل، ويسمى أيضًا معامل الميل، وb هو الإحداثي الصادي عند نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الرأسي.
هنا تحدد هذه الحروف المعلمات، وليس أسماء النقاط.

3. Construire deux différences cohérentes3. احسب فرقين بترتيب متسق

Prenons les points A(1 ; 3) et B(4 ; 9).
En allant de A vers B, la variation horizontale est 4 − 1 = 3 et la variation verticale est 9 − 3 = 6.
La pente est le quotient de la variation verticale par la variation horizontale :
a = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2.
Elle répond à la question :
de combien y varie-t-il pour une unité de variation de x ?
Ce quotient utilise les coordonnées des points, pas une longueur mesurée au réglet sur l’écran.خذ بعين الاعتبار النقطتين A(1 ; 3) و B(4 ; 9).
بالانتقال من A إلى B، التغير الأفقي هو 4 − 1 = 3 والتغير الرأسي هو 9 − 3 = 6.
الميل هو حاصل قسمة التغير الرأسي على التغير الأفقي:
a = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2.
إنه يجيب على السؤال:
بكم يتغير y لكل وحدة تغير في x؟
تستخدم هذه القسمة إحداثيات النقاط، وليس الطول المقاس بمسطرة على الشاشة.

Une formule générale est a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), avec x₂ différent de x₁.
Les indices 1 et 2 désignent le premier et le second point choisis.
Si vous partez de B vers A, calculez les deux différences dans ce nouvel ordre :
(3 − 9)/(1 − 4) = (−6)/(−3) = 2.
Le résultat reste identique parce que les deux signes changent ensemble.
Inverser seulement le numérateur donnerait −2, une erreur d’ordre.
Annoncez votre point de départ avant le calcul.الصيغة العامة هي a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)، مع x₂ يختلف عن x₁.
يشير المؤشران 1 و 2 إلى النقطة الأولى والثانية المختارة.
إذا انتقلت من B إلى A، فاحسب الفرقين في هذا الترتيب الجديد:
(3 − 9)/(1 − 4) = (−6)/(−3) = 2.
وتبقى النتيجة كما هي لأن الإشارتين تتغيران معًا.
عكس البسط فقط سيعطي −2 وهذا خطأ في الترتيب.
أعلن عن نقطة البداية قبل الحساب.

4. Lire le signe et la valeur de la pente4. اقرأ إشارة وقيمة الميل

Une pente positive signifie que y augmente quand x augmente.
Une pente négative signifie que y diminue quand x augmente.
Une pente nulle signifie que y reste constant lorsque x varie.
Par exemple, y = 2 × x + 1 augmente, y = −3 × x + 12 diminue et y = 4 reste constant.
Ces affirmations concernent la direction de lecture de gauche à droite dans le repère.
Elles ne disent pas si une évolution est souhaitable :
la hausse d’un coût et celle d’une production n’ont pas la même interprétation pratique.الميل الإيجابي يعني أن y يزيد كلما زاد x.
الميل السلبي يعني أن y يتناقص مع زيادة x.
الميل الصفري يعني أن y يظل ثابتًا عندما يتغير x.
على سبيل المثال، y = 2 × x + 1 يزيد، y = −3 × x + 12 ينقص، و y = 4 يبقى ثابتًا.
تتعلق هذه العبارات باتجاه القراءة من اليسار إلى اليمين في المعلم.
ولا تحدد هذه العبارات ما إذا كان التغير مرغوبًا فيه:
فالزيادة في التكلفة وزيادة الإنتاج ليس لهما نفس التفسير العملي.

La valeur absolue de la pente décrit l’importance de la variation par unité d’entrée.
Pour une augmentation de x de 2, une pente −3 donne une variation de y égale à −6 ;
une pente 0,5 donne une variation de y égale à 1.
Comparer deux pentes exige des axes et des unités compatibles.
Un nombre 60 exprimé en litres par heure ne décrit pas forcément une variation plus rapide qu’un nombre 2 exprimé en litres par minute.
Convertissez les unités avant d’ordonner les valeurs.تصف القيمة المطلقة للميل مقدار التغير لكل وحدة إدخال.
للحصول على زيادة x بمقدار 2، الميل −3 يعطي تغيير y يساوي −6 ;
الميل 0,5 يعطي تغيير y يساوي 1.
تتطلب المقارنة بين الميلين محاور ووحدات متوافقة.
الرقم 60 المعبر عنه باللتر في الساعة لا يصف بالضرورة تغيراً أسرع من الرقم 2 المعبر عنه باللتر في الدقيقة.
قم بتحويل الوحدات قبل ترتيب القيم.

5. Une pente possède souvent une unité5. غالبًا ما يحتوي الميل على وحدة

Si x représente des minutes et y des litres, la variation verticale se mesure en litres et la variation horizontale en minutes.
Leur quotient se mesure en litres par minute.
Le nombre 2 signifie alors une augmentation de deux litres pour chaque minute supplémentaire.
Si les axes portent des nombres abstraits sans unités physiques, nous pouvons parler de deux unités de y par unité de x.
Le terme b possède l’unité de y ;
il ne possède pas celle de la pente.
Gardez cette distinction dans chaque phrase de résultat.إذا كان x يمثل الدقائق وy لترًا، يتم قياس التغير الرأسي باللتر والتغير الأفقي بالدقائق.
يتم قياس حاصل قسمتهما باللتر في الدقيقة.
الرقم 2 يعني زيادة لترين لكل دقيقة إضافية.
إذا كانت المحاور تحمل أرقامًا مجردة بدون وحدات فيزيائية فيمكننا الحديث عن وحدتين y لكل وحدة x.
الحد b له وحدة y ;
ولا يحتوي على وحدة الميل.
احتفظ بهذا التمييز في كل جملة نتيجة.

Un changement d’unité change la valeur numérique du coefficient.
Une augmentation de 2 L/min correspond à 120 L/h, car une heure contient soixante minutes.
Le phénomène reste le même.
De plus, l’angle visible d’une droite dépend du choix des graduations et des proportions de l’image.
Agrandir l’axe vertical rend la droite plus inclinée sans modifier les données.
Il ne faut donc pas déduire une valeur de pente de son apparence seule ;
utilisez les différences lues dans les unités des axes.تغيير الوحدة يغير القيمة العددية للمعامل.
وزيادة 2 L/min تقابل 120 L/h، لأن الساعة فيها ستون دقيقة.
وتبقى الظاهرة على حالها.
بالإضافة إلى ذلك، تعتمد الزاوية المرئية للخط على اختيار علامات التدريج ونسب الصورة.
يؤدي تكبير المحور الرأسي إلى جعل الخط أكثر ميلاً دون تغيير البيانات.
ولذلك لا ينبغي لنا أن نستنتج قيمة الميل من مظهره وحده؛
استخدم الفروق المقروءة في وحدات المحور.

6. Retrouver la valeur initiale6. أوجد القيمة الأولية

Écrivons y = a × x + b.
Lorsque x = 0, le produit a × x vaut zéro et y vaut b.
Le point d’intersection avec l’axe vertical est donc (0 ; b).
Pour y = 2 × x + 1, ce point est (0 ; 1).
Le coefficient 2 décrit une variation ;
le nombre 1 décrit une valeur de départ.
Un départ peut être positif, négatif ou nul selon le repère et la grandeur.
Une valeur initiale négative n’est pas automatiquement une erreur mathématique, même si un volume physique négatif n’est pas admissible.هيا نكتب y = a × x + b.
عندما يكون x = 0 يكون حاصل الضرب a × x صفرًا و y يكون b.
وبالتالي فإن نقطة التقاطع مع المحور الرأسي هي (0 ; b).
بالنسبة لـ y = 2 × x + 1، هذه النقطة هي (0 ; 1).
يصف المعامل 2 التغير؛
الرقم 1 يصف قيمة البداية.
يمكن أن تكون البداية موجبة أو سالبة أو صفراً حسب المعلم والكمية.
لا تعتبر القيمة الأولية السلبية خطأً رياضيًا تلقائيًا، على الرغم من أن الحجم المادي السلبي غير مقبول.

Si l’on connaît la pente et un point de la droite, on peut calculer b par b = y − a × x.
Avec A(1 ; 3) et a = 2, on trouve b = 3 − 2 × 1 = 1.
Avec B(4 ; 9), on trouve également b = 9 − 2 × 4 = 1.
Deux résultats différents signaleraient une erreur de calcul ou des points qui ne décrivent pas la même droite avec cette pente.
Ne prenez pas simplement la première valeur du tableau pour b si son abscisse n’est pas zéro.إذا عرفنا الميل ونقطة على الخط، يمكننا حساب b بواسطة b = y − a × x.
مع A(1 ; 3) و a = 2 نجد b = 3 − 2 × 1 = 1.
مع B(4 ; 9)، نجد أيضًا b = 9 − 2 × 4 = 1.
قد تشير نتيجتان مختلفتان إلى خطأ حسابي أو نقاط لا تصف نفس الخط مع هذا الميل.
لا تعتبر القيمة الأولى في الجدول هي b إذا كان إحداثيها x ليس صفرًا.

7. Construire une équation à partir de deux points7. أنشئ معادلة من نقطتين

Pour la droite passant par A(1 ; 3) et B(4 ; 9), commencez par la pente :
a = (9 − 3)/(4 − 1) = 2.
Utilisez ensuite un point pour la valeur initiale :
b = 3 − 2 × 1 = 1.
La relation obtenue est y = 2 × x + 1.
Vérifiez les deux points :
pour x = 1, la sortie vaut 3 ;
pour x = 4, elle vaut 9.
La méthode comporte donc trois étapes :
variation, valeur initiale, contrôle.
Chacune répond à une question différente.بالنسبة للخط المار بـ A(1 ; 3) و B(4 ; 9)، ابدأ بالميل:
a = (9 − 3)/(4 − 1) = 2.
ثم استخدم نقطة لحساب القيمة الأولية:
b = 3 − 2 × 1 = 1.
العلاقة الناتجة هي y = 2 × x + 1.
تحقق من النقطتين:
بالنسبة إلى x = 1، يكون الإخراج 3؛
بالنسبة إلى x = 4، يكون 9.
وبالتالي فإن الطريقة لها ثلاث مراحل:
التغيير، القيمة الأولية، التحقق.
كل يجيب على سؤال مختلف.

Deux points d’abscisses différentes déterminent une unique droite non verticale.
Cela ne prouve pas qu’un ensemble de mesures physiques suit cette droite partout.
Les deux points peuvent définir un modèle choisi ;
des observations supplémentaires et une justification sont nécessaires pour l’appliquer à une situation réelle.
Si les deux abscisses sont identiques, le dénominateur est nul.
Vous ne pouvez pas effectuer la division ni utiliser cette méthode pour obtenir une fonction affine.
Nous examinerons ce cas particulier plus loin.نقطتان لهما فاصلتان مختلفتان تحددان خطًا واحدًا غير عمودي.
وهذا لا يثبت أن مجموعة من القياسات الفيزيائية تتبع هذا الخط في كل مكان.
يمكن للنقطتين تحديد النمط المختار؛
هناك حاجة إلى ملاحظات وتبريرات إضافية لتطبيقها على موقف حقيقي.
إذا كان إحداثيا x متماثلين، يكون المقام صفرًا.
لا يمكنك إجراء القسمة أو استخدام هذه الطريقة للحصول على دالة تآلفية.
وسوف ندرس هذه الحالة بالذات في وقت لاحق.

8. Contrôler la régularité dans un tableau8. التحقق من الانتظام في الجدول

Le tableau décrit les couples (0 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 7) et (4 ; 9).
Les intervalles horizontaux valent 1, 2 puis 1 ;
les variations verticales valent 2, 4 puis 2.
Les trois quotients valent 2.
Comparer seulement les différences verticales aurait donné 2, 4, 2 et pourrait faire croire à une irrégularité.
Il faut les rapporter aux différences horizontales correspondantes.
Les abscisses d’un tableau ne sont pas toujours espacées régulièrement.
Vérifiez les deux colonnes avant de conclure.يصف الجدول الأزواج (0 ; 1)، (1 ; 3)، (3 ; 7) و (4 ; 9).
الفواصل الأفقية تساوي 1، 2 ثم 1 ;
والتغيرات الرأسية تساوي 2، 4 ثم 2.
نواتج القسمة الثلاثة تساوي 2.
مقارنة الاختلافات الرأسية فقط كانت ستعطي 2، 4، 2 ويمكن أن تشير إلى عدم انتظام.
يجب قسمة هذه الفروق على الفروق الأفقية المقابلة.
إحداثيات x للجدول ليست دائمًا متباعدة بشكل متساوٍ.
تحقق من كلا العمودين قبل الختام.

Les valeurs choisies sont cohérentes avec y = 2 × x + 1.
Pour un modèle affine exact, toutes les pentes entre points d’abscisses différentes sont égales.
Un tableau fini permet de vérifier la cohérence des points disponibles, mais ne détermine pas à lui seul ce qui se produit entre eux ou au-delà.
Des mesures peuvent aussi contenir des incertitudes et ne pas être parfaitement alignées.
Dans ce cours, les valeurs sont exactes et calculées ;
une estimation à partir de mesures demanderait une méthode supplémentaire.القيم المختارة متوافقة مع y = 2 × x + 1.
بالنسبة للنموذج التآلفي الدقيق، تكون جميع الميول بين نقاط ذات فواصل مختلفة متساوية.
يسمح لك الجدول المحدود بالتحقق من اتساق النقاط المتاحة، لكنه لا يحدد وحده ما يحدث بينها أو خارجها.
قد تحتوي القياسات أيضًا على عدم يقين وقد لا تكون على استقامة واحدة تماماً.
في هذه الدورة تكون القيم دقيقة ومحسوبة؛
سيتطلب التقدير المبني على القياسات طريقة إضافية.

9. Pente constante et rythme moyen9. ميل ثابت ومعدل تغير متوسط

Entre A et B, le quotient 6/3 = 2 est un rythme moyen de variation.
Pour la relation affine étudiée, ce même quotient est obtenu sur chaque intervalle non nul :
il est donc aussi la pente constante du modèle.
Pour une courbe quelconque, les rythmes moyens peuvent changer d’un intervalle à un autre.
Une valeur moyenne sur toute la période ne permet pas de dire que la variation a été régulière à chaque instant.
Reliez toujours votre résultat aux deux points qui ont servi au calcul.بين A وB، الحاصل 6/3 = 2 هو متوسط معدل التغير.
بالنسبة للعلاقة التآلفية المدروسة، يتم الحصول على نفس الحاصل في كل مجال طوله غير صفري:
وبالتالي فهو أيضًا الميل الثابت للنموذج.
بالنسبة لأي منحنى، يمكن أن يتغير معدل التغير المتوسط من فترة إلى أخرى.
إن القيمة المتوسطة خلال الفترة بأكملها لا تسمح لنا بالقول إن التغير كان منتظمًا في كل لحظة.
قم دائمًا بربط نتيجتك بالنقطتين اللتين تم استخدامهما في الحساب.

Prenons des observations fictives (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 8).
Le premier intervalle donne (3 − 1)/(1 − 0) = 2 et le second donne (8 − 3)/(2 − 1) = 5.
Ces trois points ne suivent pas la même relation affine exacte.
Entre le premier et le dernier, le rythme moyen vaut (8 − 1)/(2 − 0) = 3,5.
Cette moyenne ne remplace pas les valeurs 2 et 5 ;
elle résume un autre intervalle.
Le mot « moyen »
doit rester présent quand la régularité n’est pas établie.فكر في الملاحظات الوهمية (0 ; 1)، (1 ; 3) و (2 ; 8).
الفاصل الأول يعطي (3 − 1)/(1 − 0) = 2 والثاني يعطي (8 − 3)/(2 − 1) = 5.
هذه النقاط الثلاث لا تتبع نفس العلاقة التآلفية الدقيقة.
بين الأول والأخير متوسط معدل التغير (8 − 1)/(2 − 0) = 3,5.
هذا المتوسط لا يحل محل القيم 2 و 5 ;
بل يلخص فترة أخرى.
يجب أن تظل كلمة "متوسط" موجودة عندما لا يتم إثبات الانتظام.

10. Exemple croissant : remplir un réservoir10. مثال متزايد: ملء الخزان

Un réservoir fictif contient 1 L au départ et reçoit idéalement 2 L par minute, sans sortie.
Le volume est V = 2 × t + 1, avec t en minutes et V en litres.
Les points (1 ; 3) et (4 ; 9) donnent la pente (9 − 3)/(4 − 1) = 2 L/min.
L’ordonnée à l’origine vaut 1 L.
Au bout de cinq minutes, le modèle donne 11 L, seulement si la capacité du réservoir le permet et si les hypothèses restent respectées.
Le débit et le volume initial sont deux données distinctes.خزان وهمي يحتوي على 1 L مبدئيًا وبشكل مثالي يستقبل 2 L في الدقيقة، بدون إخراج.
الحجم V = 2 × t + 1، مع t بالدقائق و V باللتر.
النقطتان (1 ; 3) و (4 ; 9) تعطيان الميل (9 − 3)/(4 − 1) = 2 L/min.
الإحداثي الصادي عند تقاطع المستقيم مع المحور الرأسي هو 1 L.
وبعد خمس دقائق، يعطي النموذج 11 L، فقط إذا كانت سعة الخزان تسمح بذلك وإذا ظلت الافتراضات محترمة.
معدل التدفق والحجم الأولي هما بيانات منفصلة.

Si vous cherchez le moment où le volume atteint 7 L, résolvez 7 = 2 × t + 1.
Soustrayez 1 puis divisez par 2 :
t = 3 min.
Vérifiez que ce temps appartient au domaine étudié.
Doubler t ne double pas le volume total, car le litre initial reste présent.
Le volume ajouté V − 1 est proportionnel au temps, tandis que V est affine.
Cette différence explique pourquoi une règle de trois appliquée directement au volume total peut produire une réponse fausse.إذا كنت تبحث عن اللحظة التي يصل فيها الحجم إلى 7 L، فحل المعادلة 7 = 2 × t + 1.
اطرح 1 ثم اقسم على 2:
t = 3 min.
تأكد من أن هذا الزمن ينتمي إلى المجال الذي تمت دراسته.
مضاعفة t لا تضاعف الحجم الإجمالي، لأن اللتر الأولي يبقى موجودا.
الحجم المضاف V − 1 متناسب مع الزمن، بينما V علاقة تآلفية.
يفسر هذا الاختلاف لماذا يمكن لقاعدة الثلاثة المطبقة مباشرة على الحجم الإجمالي أن تنتج إجابة خاطئة.

11. Exemple décroissant et pente négative11. مثال على الميل المتناقص والسالب

Un second réservoir fictif contient 12 L puis perd idéalement 3 L par minute, sans apport.
Le modèle est V = 12 − 3 × t.
Entre t = 1 et t = 3, le volume passe de 9 L à 3 L.
La pente vaut (3 − 9)/(3 − 1) = −6/2 = −3 L/min.
Le signe négatif indique une diminution du volume.
Le débit sortant annoncé comme une quantité positive est 3 L/min ;
la variation du volume, elle, a un coefficient signé −3 L/min.
Indiquez clairement lequel vous décrivez.يحتوي الخزان الوهمي الثاني على 12 L ثم يفقد بشكل مثالي 3 L في الدقيقة، دون إدخال.
النموذج V = 12 − 3 × t.
بين t = 1 و t = 3، يتغير الحجم من 9 L إلى 3 L.
الميل هو (3 − 9)/(3 − 1) = −6/2 = −3 L/min.
الإشارة السلبية تشير إلى انخفاض في الحجم.
التدفق الصادر المعلن ككمية موجبة هو 3 L/min ;
الاختلاف في الحجم له معامل ذي إشارة −3 L/min.
أشر بوضوح إلى أي واحد تصفه.

À t = 4 min, la formule donne zéro litre.
Après cet instant, elle donnerait un volume négatif et ne représenterait plus ce réservoir.
Le domaine physique de ce modèle est donc limité de 0 à 4 minutes.
La droite mathématique pourrait être prolongée, mais ce prolongement n’aurait plus le sens prévu.
Une formule simple et une pente constante n’autorisent pas une extrapolation sans limites.
La validité dépend des hypothèses, de la capacité, de l’absence d’apport et du maintien du débit idéal.عند t = 4 min، الصيغة تعطي صفر لتر.
بعد هذه اللحظة، سيعطي حجمًا سلبيًا ولن يمثل هذا الخزان بعد الآن.
وبالتالي فإن المجال المادي لهذا النموذج محدود من 0 إلى 4 دقائق.
يمكن تمديد الخط الرياضي، لكن هذا الامتداد لن يكون له المعنى المقصود.
إن الصيغة البسيطة والميل الثابت لا يسمحان باستقراء غير محدود.
تعتمد الصلاحية على الافتراضات والسعة وغياب التدفق الداخل والمحافظة على معدل التدفق المثالي.

12. Cas horizontal, cas vertical et division impossible12. حالة أفقية وحالة رأسية وقسمة غير ممكنة

Les points (1 ; 4) et (3 ; 4) ont la même ordonnée.
Leur pente vaut (4 − 4)/(3 − 1) = 0/2 = 0.
La droite est horizontale et la relation est y = 4, soit y = 0 × x + 4.
Cette fonction est affine constante ;
elle n’est pas linéaire au sens mathématique car elle ne passe pas par l’origine.
Zéro au numérateur avec un dénominateur non nul est une division parfaitement définie.
Il faut distinguer ce cas d’un zéro au dénominateur.النقطتان (1 ; 4) و (3 ; 4) لهما الترتيبة نفسها.
ميل المستقيم المار بهما هو (4 − 4)/(3 − 1) = 0/2 = 0.
الخط أفقي والعلاقة هي y = 4 أو y = 0 × x + 4.
هذه الدالة تآلفية ثابتة؛
فهي ليست خطية بالمعنى الرياضي لأنها لا تمر عبر نقطة الأصل.
الصفر في البسط مع مقام غير صفري هو قسمة محددة تمامًا.
ويجب تمييز هذه الحالة عن الصفر في المقام.

Les points (2 ; 1) et (2 ; 5) ont la même abscisse.
La variation horizontale vaut zéro :
(5 − 1)/(2 − 2) demanderait de diviser par zéro.
La pente n’est pas définie par ce quotient.
La droite verticale x = 2 contient plusieurs ordonnées pour une même abscisse ;
elle n’est donc pas le graphique d’une fonction y de x.
Dire que sa pente vaut zéro serait faux.
Deux points identiques ne déterminent pas non plus une droite unique ;
ils donnent une seule position.النقطتان (2 ; 1) و (2 ; 5) لهما الفاصلة نفسها.
الاختلاف الأفقي هو صفر:
(5 − 1)/(2 − 2) سيتطلب القسمة على صفر.
لم يتم تعريف الميل بهذا الحاصل.
يحتوي الخط العمودي x = 2 على عدة تراتيب للفاصلة نفسها؛
وبالتالي فهو ليس الرسم البياني للدالة y لـ x.
والقول بأن ميله يساوي صفرًا سيكون خطأً.
النقطتان المتطابقتان لا تحددان خطًا واحدًا أيضًا؛
تعطيان موضعاً واحداً فقط.

13. Erreurs fréquentes et contrôles utiles13. الأخطاء الشائعة والفحوصات المفيدة

Ne remplacez pas la pente par le quotient y/x lorsque la valeur initiale b est non nulle.
Pour A(1 ; 3), y/x vaut 3 ;
pour B(4 ; 9), il vaut 9/4.
Pourtant la pente commune vaut 2.
Les quotients de valeurs et les quotients de variations répondent à des questions différentes.
Ne confondez pas non plus une pente négative avec un volume négatif.
Dans le modèle décroissant, le volume reste positif avant quatre minutes malgré le coefficient négatif.لا تستبدل الميل بالحاصل y/x عندما تكون القيمة الأولية b غير صفر.
لـ A(1 ; 3)، y/x هو 3 ;
لـ B(4 ; 9)، هو 9/4.
لكن الميل المشترك هو 2.
تجيب حاصلات القيمة وحواصل قسمة التغيرات على أسئلة مختلفة.
أيضًا، لا تخلط بين الميل السلبي والحجم السلبي.
وفي النموذج التناقصي يظل الحجم موجبًا قبل أربع دقائق بالرغم من المعامل السلبي.

Votre contrôle peut suivre quatre questions :
les différences utilisent-elles le même ordre ?
La différence horizontale est-elle non nulle ?
L’unité est-elle celle de la sortie divisée par celle de l’entrée ?
L’équation retrouvée reproduit-elle les points connus ?
Si la réponse échoue, reprenez les signes et la valeur initiale.
Pour comparer des situations, vérifiez aussi les unités et le domaine.
Une pente calculée correctement peut être interprétée incorrectement si l’on oublie qu’elle résume un modèle ou un intervalle précis.يمكن أن يتبع التحقق الذي تجريه أربعة أسئلة:
هل تستخدم الاختلافات نفس الترتيب؟
هل الفرق الأفقي ليس صفراً؟
هل وحدة الإخراج مقسومة على وحدة الإدخال؟
هل المعادلة الموجودة تنتج النقاط المعروفة؟
إذا فشلت الإجابة، فارجع إلى الإشارات والقيمة الأولية.
لمقارنة المواقف، تحقق أيضًا من الوحدات والمجال.
يمكن تفسير الميل المحسوب بشكل صحيح بشكل غير صحيح إذا نسي المرء أنه يلخص نموذجاً أو فاصلًا محددًا.

14. Entraînement guidé et corrections14. التدريب الموجه والتصحيحات

Cachez les réponses et écrivez chaque étape.
A :
calculez la pente entre (0 ; 2) et (3 ; 8).
B :
trouvez la valeur initiale de la droite de pente 2 passant par (3 ; 8).
C :
calculez la pente entre (1 ; 10) et (4 ; 4).
D :
pour y = −2 × x + 12, calculez y lorsque x = 5.
E :
convertissez 2 L/min en litres par heure.
F :
expliquez pourquoi les points (2 ; 1) et (2 ; 5) ne permettent pas une division de pente ordinaire.أخفِ الإجابات واكتب كل خطوة.
A:
احسب الميل بين (0 ; 2) و (3 ; 8).
B:
أوجد القيمة الأولية لخط الميل 2 المار بـ (3 ; 8).
C:
احسب الميل بين (1 ; 10) و (4 ; 4).
D:
بالنسبة لـ y = −2 × x + 12، احسب y متى x = 5.
E:
حول 2 L/min إلى لتر في الساعة.
F:
اشرح لماذا لا تسمح النقطتان (2 ; 1) و (2 ; 5) بحساب الميل بقسمة عادية.

Correction A :
(8 − 2)/(3 − 0) = 2.
B :
b = 8 − 2 × 3 = 2, donc y = 2 × x + 2.
C :
(4 − 10)/(4 − 1) = −2.
D :
−2 × 5 + 12 = 2.
E :
2 × 60 = 120 L/h.
F :
les abscisses sont égales, donc le dénominateur est nul ;
la droite est verticale.
Refaites ces calculs en inversant l’ordre des deux points dans A et C.
Le résultat de la pente doit rester identique si les deux différences sont inversées ensemble.تصحيح A:
(8 − 2)/(3 − 0) = 2.
B:
b = 8 − 2 × 3 = 2، إذن y = 2 × x + 2.
C:
(4 − 10)/(4 − 1) = −2.
D:
−2 × 5 + 12 = 2.
E:
2 × 60 = 120 L/h.
F:
إحداثيات x متساوية، لذا فإن المقام هو صفر؛
الخط عمودي.
كرر هذه الحسابات بعكس ترتيب النقطتين في A و C.
يجب أن تظل نتيجة الميل كما هي إذا تم قلب الفرقين معًا.

15. Synthèse et travail dans le carnet15. ملخص والعمل في دفتر الملاحظات

Une pente est une variation verticale divisée par une variation horizontale non nulle.
Son signe indique la direction d’évolution et son unité dépend des axes.
Dans y = a × x + b, a est la pente et b la valeur pour x = 0.
Une fonction linéaire a une valeur initiale nulle ;
une fonction affine peut avoir un départ non nul.
Une droite horizontale a une pente nulle, tandis qu’une droite verticale n’a pas de pente définie par ce quotient.
Une relation physique garde un domaine de validité même si sa formule se prolonge mathématiquement.الميل هو تغير رأسي مقسوم على تغير أفقي غير صفري.
وإشارته تشير إلى اتجاه التطور ووحدته تعتمد على المحاور.
في y = a × x + b، a هو الميل و b هي قيمة y عندما x = 0.
الدالة الخطية لها قيمة أولية صفر؛
يمكن أن يكون للدالة التآلفية بداية غير صفرية.
الخط الأفقي له ميل صفر، في حين أن الخط الرأسي ليس له ميل محدد بواسطة هذا الحاصل.
تحتفظ العلاقة الفيزيائية بمجال من الصلاحية حتى لو تم توسيع صيغتها رياضيًا.

Dans votre carnet, recopiez le tableau, calculez ses trois pentes et retrouvez l’équation sans regarder la correction.
Dessinez ensuite une relation croissante, une décroissante et une constante, en indiquant leurs valeurs initiales.
Écrivez deux phrases distinctes pour la pente et le volume initial de chaque réservoir.
Enfin, inventez trois points dont les deux rythmes moyens sont différents.
Vous serez prêt pour la suite lorsque vous pourrez passer des points au coefficient, du coefficient à l’équation et de l’équation à une interprétation avec unités et limites.انسخ الجدول في دفترك واحسب الميول الثلاثة فيه وأوجد المعادلة دون النظر إلى التصحيح.
ثم ارسم علاقة متزايدة، وعلاقة تناقصية، وعلاقة ثابتة، مع الإشارة إلى قيمها الأولية.
اكتب جملتين منفصلتين عن الميل والحجم الأولي لكل خزان.
أخيرًا، اخترع ثلاث نقاط يختلف معدلا التغير المتوسطان بين كل نقطتين متتاليتين منها.
ستكون جاهزًا للخطوة التالية عندما يمكنك الانتقال من النقاط إلى المعامل، ومن المعامل إلى المعادلة، ومن المعادلة إلى التفسير بالوحدات والحدود.