1. Deux nombres peuvent décrire une position1. يمكن لعددين تحديد موقع ما.

Pour retrouver une position sur une droite graduée, un seul nombre suffit.
Pour retrouver une position dans un plan, il faut généralement deux informations :
une position horizontale et une position verticale.
Un repère organise ces deux informations grâce à deux axes.
Les coordonnées d’un point forment un couple ordonné :
le premier nombre et le second n’ont pas le même rôle.
Ce cours reprend cette idée depuis le début, puis montre comment plusieurs points peuvent représenter une relation entre deux grandeurs.لتحديد موقع على مستقيم مدرج، يكفي استخدام عدد واحد.
أما لتحديد موقع في مستوى، فيلزم عادةً توفر معلومتين:
موقع أفقي وموقع رأسي.
ويقوم المعلم بتنظيم هاتين المعلومتين من خلال محورين.
تشكل إحداثيات النقطة زوجاً مرتباً:
حيث لا يتشابه دور العدد الأول مع دور العدد الثاني.
يتناول هذا الدرس الفكرة من بدايتها، ثم يوضح كيف يمكن لمجموعة من النقاط أن تمثل علاقة بين مقدارين.

Nous utiliserons un repère avec des nombres positifs et négatifs, un tableau de valeurs et deux dessins.
Les exemples sont fictifs et servent à apprendre les mathématiques.
Vous passerez de mots comme « à gauche »
et « au-dessus »
à une écriture précise, puis d’une formule à des points.
Vous apprendrez également à distinguer un dessin de position physique et un graphique reliant des grandeurs différentes.
Deux axes dessinés sur une feuille ne représentent pas forcément deux longueurs mesurées dans un atelier.سنستخدم معلماً يتضمن أعداداً موجبة وسالبة، وجدولاً للقيم، ورسمين توضيحيين.
الأمثلة المستخدمة افتراضية وتهدف إلى تعلم الرياضيات.
ستنتقل من استخدام عبارات مثل "إلى اليسار" و"إلى الأعلى" إلى صياغة دقيقة، ومن ثم من الصيغة الرياضية إلى النقاط.
كما ستتعلم التمييز بين الرسم الذي يوضح موقعاً مادياً وبين الرسم البياني الذي يربط بين مقادير مختلفة؛
فالمحوران المرسومان على ورقة لا يمثلان بالضرورة طولين مقاسين في ورشة عمل.

2. Objectifs et vocabulaire du repère2. أهداف ومصطلحات نظام الإحداثيات

À la fin du cours, vous devrez lire et placer un point, conserver l’ordre de ses coordonnées, reconnaître les points situés sur les axes et construire un tableau à partir d’une relation simple.
Vous saurez vérifier si un point satisfait une équation et expliquer pourquoi une droite ne représente pas automatiquement une proportionnalité.
Les prérequis sont les nombres signés, les priorités opératoires, la lecture de graphiques et l’isolement d’une inconnue.
Nous utiliserons ces outils dans un ordre progressif plutôt que de commencer par une formule mémorisée.بنهاية الدرس، ستكون قادراً على قراءة وتحديد موقع نقطة، والالتزام بترتيب إحداثياتها، والتعرف على النقاط الواقعة على المحاور، وإنشاء جدول انطلاقاً من علاقة بسيطة.
كما ستتمكن من التحقق مما إذا كانت نقطة ما تحقق معادلة معينة، وتوضيح سبب عدم كون الخط المستقيم بالضرورة تمثيلاً لعلاقة تناسبية.
تشمل المتطلبات السابقة:
الأعداد الموجهة (المزودة بإشارة)، وقواعد ترتيب العمليات الحسابية، وقراءة الرسوم البيانية، وعزل المجهول.
وسنستخدم هذه الأدوات وفق تسلسل تدريجي بدلاً من البدء بصيغة تُحفظ عن ظهر قلب.

Un repère possède une origine, deux axes et des graduations.
Dans nos figures, l’axe horizontal s’appelle l’axe des abscisses et porte la lettre x ;
l’axe vertical s’appelle l’axe des ordonnées et porte la lettre y.
L’abscisse est donc la première coordonnée et l’ordonnée la seconde.
L’origine est le point O, de coordonnées (0 ; 0).
Nous employons un point-virgule entre les coordonnées pour ne pas le confondre avec la virgule d’un nombre décimal.
Cette convention de notation rend les couples plus faciles à lire.للمعلم نقطة أصل ومحوران وعلامات تدريج.
في أشكالنا يسمى المحور الأفقي محور الفواصل (الإحداثيات السينية) ويحمل الحرف x ;
والمحور الرأسي يسمى محور التراتيب (الإحداثيات الصادية) ويحمل الحرف y.
وبالتالي فإن الفاصلة هي الإحداثي الأول، والترتيبة هي الإحداثي الثاني.
نقطة الأصل هي O، وإحداثياتها (0 ; 0).
نستخدم الفاصلة المنقوطة بين الإحداثيات حتى لا نخلط بينها وبين فاصلة الرقم العشري.
اتفاقية التدوين هذه تجعل قراءة الأزواج أسهل.

3. Origine, directions et signes3. الأصل والاتجاهات والإشارات

Dans le premier dessin, les axes se croisent à l’origine O.
Les abscisses positives sont à droite et les négatives à gauche.
Les ordonnées positives sont au-dessus et les négatives au-dessous.
Le point A(−2 ; 3) a donc une abscisse négative et une ordonnée positive.
Le point B(3 ; −2) a une abscisse positive et une ordonnée négative.
Avant de compter les graduations, annoncez la direction donnée par chaque signe.
Le signe ne décrit pas une qualité bonne ou mauvaise ;
il indique une position par rapport à l’origine choisie.في الرسم الأول تتقاطع المحاور عند نقطة الأصل O.
الفواصل الموجبة تقع على اليمين والسالبة على اليسار.
التراتيب الموجبة تقع في الأعلى والسالبة في الأسفل.
وبالتالي فإن النقطة A(−2 ; 3) لها فاصلة سالبة وترتيبة موجبة.
النقطة B(3 ; −2) لها فاصلة موجبة وترتيبة سالبة.
قبل عد التدرجات، أعلن عن الاتجاه الذي تحدده كل إشارة.
الإشارة لا تصف نوعية جيدة أو سيئة؛
فهي تشير إلى موضع نسبة إلى الأصل المختار.

Une coordonnée nulle signifie que le déplacement sur cet axe est nul.
Le point C(0 ; 2) se trouve sur l’axe vertical, à l’ordonnée 2.
Le point D(−3 ; 0) se trouve sur l’axe horizontal, à l’abscisse −3.
Le point O(0 ; 0) appartient aux deux axes.
Ne confondez pas zéro et absence de coordonnée :
un couple doit garder ses deux nombres, même lorsqu’un des deux vaut zéro.
Une coordonnée oubliée ne permet pas de retrouver une position complète.الإحداثي صفر يعني أن الإزاحة على هذا المحور هي صفر.
تقع النقطة C(0 ; 2) على المحور الرأسي عند الترتيبة 2.
النقطة D(−3 ; 0) تقع على المحور الأفقي عند الفاصلة −3.
النقطة O(0 ; 0) تنتمي إلى كلا المحورين.
لا تخلط بين الصفر وغياب الإحداثيات:
يجب أن يحتفظ الزوج المرتب بكلا العددين، حتى عندما يكون أحدهما يساوي صفرًا.
الإحداثيات المنسية لا تسمح لك بالعثور على موقع كامل.

4. Lire un couple dans le bon ordre4. قراءة زوج مرتب بالترتيب الصحيح

Écrire A(−2 ; 3) signifie d’abord x = −2, puis y = 3.
Écrire (3 ; −2) donne une autre position, celle de B dans notre figure.
Inverser les coordonnées change donc généralement le point.
Pour un point comme (2 ; 2), l’inversion ne change rien parce que les deux nombres sont égaux ;
cette exception ne permet pas d’oublier l’ordre dans les autres cas.
Dites « abscisse, puis ordonnée »
à chaque lecture jusqu’à ce que la convention devienne naturelle.كتابة A(−2 ; 3) تعني أولاً x = −2 ثم y = 3.
كتابة (3 ; −2) تعطي موضعًا آخر، وهو B في شكلنا.
وبالتالي فإن عكس الإحداثيات يغير النقطة بشكل عام.
بالنسبة لنقطة مثل (2 ; 2)، لا يغير الانقلاب شيئًا لأن الرقمين متساويان؛
هذا الاستثناء لا يسمح بنسيان الترتيب في حالات أخرى.
قل "الفاصلة، ثم الترتيبة" في كل مرة تقرأ فيها حتى تصبح قاعدة الترتيب مألوفة.

Un point peut avoir des coordonnées décimales :
P(1,5 ; −0,5) désigne une abscisse de 1,5 et une ordonnée de −0,5.
Les virgules appartiennent aux nombres ;
le point-virgule sépare les deux coordonnées.
Si un texte utilise une autre convention, lisez-la avant d’interpréter la paire.
Le nom du point, comme A ou P, est une étiquette ;
il ne participe pas à une addition et ne représente pas une unité.
La position dépend des coordonnées et du repère, pas de la lettre choisie pour nommer le point.يمكن أن يكون للنقطة إحداثيات عشرية:
P(1,5 ; −0,5) تعني فاصلة قيمتها 1,5 وترتيبة قيمتها −0,5.
الفواصل تنتمي إلى الأرقام.
الفاصلة المنقوطة تفصل بين الإحداثيات.
إذا كان النص يستخدم اصطلاحًا آخر، فاقرأه قبل تفسير الزوج.
اسم النقطة، مثل A أو P، هو تسمية؛
فلا تشارك في إضافة ولا تمثل وحدة.
يعتمد الموضع على الإحداثيات والمعلم، وليس على الحرف المختار لتسمية النقطة.

5. Placer un point pas à pas5. ضع نقطة خطوة بخطوة

Pour placer A(−2 ; 3), partez de O, avancez de deux unités vers la gauche sur l’axe horizontal, puis de trois unités vers le haut parallèlement à l’axe vertical.
Marquez le point à l’intersection de ces deux indications.
Vous pouvez tracer légèrement une verticale passant par x = −2 et une horizontale passant par y = 3 ;
leur intersection donne A.
Les deux méthodes décrivent la même position.
Le déplacement est une aide de construction sur la feuille, pas forcément un trajet réel entre deux endroits.لوضع A(−2 ; 3)، ابدأ من O، حرك وحدتين إلى اليسار على المحور الأفقي، ثم ثلاث وحدات لأعلى موازية للمحور الرأسي.
ضع علامة على النقطة عند تقاطع هاتين الإشارتين.
يمكنك رسم خط عمودي خفيف يمر بـ x = −2 وخط أفقي يمر بـ y = 3 ;
تقاطعهما يعطي A.
كلا الطريقتين تصف الموضع نفسه.
فالحركة هي وسيلة لإنشاء الرسم على الورقة، وليست بالضرورة رحلة فعلية بين مكانين.

Pour placer B(3 ; −2), allez de trois unités à droite puis de deux unités vers le bas.
Contrôlez ensuite en relisant le point depuis les axes :
son abscisse doit être 3 et son ordonnée −2.
Si vous partez du point précédent au lieu de repartir du repère, vous risquez d’additionner des déplacements qui n’étaient pas demandés.
Utilisez chaque couple comme une position définie par rapport à la même origine.
Pour des décimales, partagez correctement l’intervalle entre graduations plutôt que d’arrondir silencieusement la coordonnée.لوضع B(3 ; −2)، انتقل ثلاث وحدات إلى اليمين ثم وحدتين إلى الأسفل.
ثم تحقق من خلال إعادة قراءة النقطة من المحاور:
يجب أن تكون فاصلتها 3 وترتيبتها −2.
إذا بدأت من النقطة السابقة بدلاً من البدء من المعلم، فإنك تخاطر بإضافة حركات لم تكن مطلوبة.
استخدم كل زوج كموضع محدد بالنسبة لنفس الأصل.
بالنسبة للكسور العشرية، قسّم المسافة بين علامات التدريج بشكل صحيح بدلاً من تقريب الإحداثيات بشكل صامت.

6. Lire les coordonnées d’un point dessiné6. قراءة إحداثيات النقطة المرسومة

Pour lire A sur la figure, projetez sa position verticalement vers l’axe horizontal :
vous trouvez −2.
Projetez ensuite horizontalement vers l’axe vertical :
vous trouvez 3.
Le couple est (−2 ; 3).
La projection sert à retrouver les deux repères, pas à mesurer une distance oblique jusqu’à l’origine.
Pour C situé sur l’axe vertical, la première coordonnée vaut zéro ;
sa hauteur fournit la seconde.
Donnez toujours les deux valeurs lorsque la question demande les coordonnées complètes.لقراءة A في الشكل، قم بإسقاط موضعه عموديًا باتجاه المحور الأفقي:
تجد −2.
ثم أسقط الموضع أفقياً باتجاه المحور الرأسي:
تجد 3.
الزوج هو (−2 ; 3).
ويستخدم الإسقاط لتحديد الإحداثيين، وليس لقياس المسافة المائلة إلى نقطة الأصل.
بالنسبة إلى C الواقع على المحور الرأسي، يكون الإحداثي الأول صفرًا؛
ارتفاعه يوفر الثانية.
قم دائمًا بإعطاء كلا القيمتين عندما يطلب السؤال الإحداثيات الكاملة.

La lecture peut être approchée si le point n’a pas d’étiquette exacte et se trouve entre deux graduations.
Précisez alors l’estimation, comme environ 1,5 pour une abscisse, selon la finesse du dessin.
Nos points étiquetés ont des valeurs exactes données dans le texte ;
le dessin les illustre.
Une capture d’écran redimensionnée ne crée pas une précision supplémentaire.
Vérifiez le pas de chaque axe, les signes et la présence éventuelle d’une rupture avant d’annoncer une valeur.
Les coordonnées lisibles doivent rester cohérentes avec l’échelle.يمكن تقريب القراءة إذا لم يكن للنقطة تسمية دقيقة وتقع بين علامتي تدريج.
ثم حدد التقدير، مثل 1,5 تقريبًا للإحداثي السيني، اعتمادًا على دقة الرسم.
نقاطنا المميزة لها قيم دقيقة معطاة في النص؛
والرسم يوضحها.
لا تؤدي لقطة الشاشة التي تم تغيير حجمها إلى إنشاء دقة إضافية.
تحقق من خطوة تدريج كل محور، والإشارات واحتمال وجود فاصل قبل الإعلان عن القيمة.
يجب أن تظل الإحداثيات الواضحة متسقة مع المقياس.

7. Deux axes peuvent avoir des unités différentes7. يمكن أن يكون للمحورين وحدات مختلفة

Dans un dessin de position, x et y pourraient être des distances exprimées en millimètres.
Dans un graphique d’évolution, x pourrait être un temps en minutes et y un volume en litres.
La même forme de repère sert alors à représenter une relation entre deux grandeurs, sans décrire un lieu dans l’espace.
Un couple (2 ; 8) signifierait deux minutes et huit litres si les axes le définissent ainsi.
Il faut donc lire les noms et les unités avant d’utiliser les coordonnées.في رسم الموضع، يمكن أن يكون x وy مسافات معبر عنها بالملليمتر.
في الرسم البياني للتطور، يمكن أن يكون x وقتًا بالدقائق وy الحجم باللتر.
ثم يتم استخدام نفس المعلم لتمثيل العلاقة بين كميتين، دون وصف مكان في الفضاء.
الزوج المرتب (2 ; 8) يعني دقيقتين وثمانية لترات إذا حددتها المحاور بهذه الطريقة.
ولذلك يجب عليك قراءة الأسماء والوحدات قبل استخدام الإحداثيات.

L’échelle horizontale et l’échelle verticale peuvent être différentes.
Un centimètre sur la feuille peut représenter une minute horizontalement et cinq litres verticalement.
L’angle d’une droite dessinée dépend de ces choix ;
il ne suffit pas à déterminer une valeur de débit.
De même, une distance mesurée au réglet entre deux points du graphique n’est pas une différence de volume ou de temps.
Utilisez séparément les valeurs sur les axes.
Les outils de géométrie d’un plan physique et les calculs d’une relation ne se confondent pas automatiquement.قد يختلف المقياس الأفقي والمقياس الرأسي.
يمكن أن يمثل سنتيمتر واحد على الورقة دقيقة واحدة أفقيًا وخمسة لترات رأسيًا.
تعتمد زاوية الخط المرسوم على هذه الاختيارات؛
ولا تكفي هذه الزاوية لتحديد قيمة التدفق.
وبالمثل، فإن المسافة المقاسة بمسطرة بين نقطتين على الرسم البياني لا تمثل فرقًا في الحجم أو الوقت.
استخدم القيم على المحاور بشكل منفصل.
لا يتم دمج أدوات الهندسة الخاصة بالمستوى المادي وحسابات العلاقة تلقائيًا.

8. Construire un tableau à partir d’une relation8. بناء جدول من العلاقة

Considérons la relation y = 2 × x + 1.
Pour chaque valeur choisie de x, nous calculons une valeur de y.
Avec x = −2, on obtient y = 2 × (−2) + 1 = −3.
Avec x = −1, on obtient −1 ;
avec x = 0, on obtient 1 ;
avec x = 1, on obtient 3 ;
avec x = 2, on obtient 5.
Le tableau rassemble ces cinq couples.
Respectez la multiplication avant l’addition et utilisez des parenthèses pour les valeurs négatives.اعتبر العلاقة y = 2 × x + 1.
لكل قيمة مختارة x، نحسب قيمة y.
مع x = −2 نحصل على y = 2 × (−2) + 1 = −3.
مع x = −1 نحصل على −1 ;
مع x = 0 نحصل على 1 ;
مع x = 1 نحصل على 3 ;
مع x = 2 نحصل على 5.
يجمع الجدول هذه الأزواج الخمسة.
اتبع الضرب قبل الجمع واستخدم الأقواس للقيم السالبة.

Chaque ligne du tableau associe une abscisse à son ordonnée correspondante.
Ne déplacez pas une valeur de y vers une autre ligne :
vous changeriez le couple et il pourrait ne plus satisfaire la relation.
Le choix des valeurs de x dépend de la question et du domaine étudié.
Ici, nous prenons cinq valeurs entières pour apprendre la méthode, mais la relation mathématique peut aussi être calculée pour des décimales.
Si une situation impose seulement des nombres entiers ou un intervalle limité, cette restriction doit être annoncée avant la représentation.يربط كل صف من الجدول الفاصلة بالترتيبة المقابلة لها.
لا تنقل قيمة y إلى سطر آخر:
ستغير الزوج المرتب وقد لا يرضي العلاقة.
يعتمد اختيار القيم لـ x على السؤال والمجال المدروس.
هنا نأخذ خمس قيم صحيحة لتعلم الطريقة، ولكن يمكن أيضًا حساب العلاقة الرياضية للكسور العشرية.
إذا كان الموقف يتطلب أرقامًا صحيحة فقط أو مجالاً محدوداً، فيجب الإعلان عن هذا القيد قبل التمثيل.

9. Du tableau à la représentation9. من الجدول إلى التمثيل

Placez successivement les points (−2 ; −3), (−1 ; −1), (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 5).
Dans le second dessin, ils sont alignés.
La relation y = 2 × x + 1 décrit une droite lorsqu’on la considère pour toutes les valeurs réelles de x.
La figure montre seulement la portion correspondant aux abscisses choisies, de −2 à 2.
Ne confondez pas la limite du cadre avec une limite automatique de la relation.
Le domaine indiqué par la situation et le domaine visible sur le dessin sont deux informations différentes.ضع النقاط (−2 ; −3) و (−1 ; −1) و (0 ; 1) و (1 ; 3) و (2 ; 5) على التوالي.
في الرسم الثاني، تقع النقاط على استقامة واحدة.
تصف العلاقة y = 2 × x + 1 الخط المستقيم عند النظر إلى جميع القيم الحقيقية لـ x.
يوضح الشكل فقط الجزء المقابل للفواصل المختارة، من −2 إلى 2.
لا تخلط بين حدود الإطار والحدود التلقائية للعلاقة.
المجال المشار إليه بالموقف والمجال المرئي في الرسم هما قطعتان مختلفتان من المعلومات.

Relier des points n’est justifié que par le modèle retenu.
Ici, la formule définit aussi les valeurs entre les abscisses du tableau ;
la liaison droite représente cette relation.
Un tableau de cinq observations quelconques n’autoriserait pas à conclure automatiquement que toutes les valeurs intermédiaires suivent exactement une droite.
Vérifiez ce que les points représentent :
résultats d’une formule ou mesures.
Pour un comptage de pièces, certaines abscisses entières pourraient seules être pertinentes, même si une droite est utilisée comme aide visuelle.
La représentation doit respecter le sens des données.وصل النقاط مبرر فقط بالنموذج المختار.
هنا، تحدد الصيغة أيضًا القيم بين إحداثيات x للجدول؛
الوصلة المستقيمة تمثل هذه العلاقة.
لن يؤدي جدول أي خمس ملاحظات تلقائيًا إلى استنتاج مفاده أن جميع القيم المتوسطة تتبع خطًا مستقيمًا تمامًا.
تحقق مما تمثله النقاط:
نتائج الصيغة أو القياسات.
بالنسبة لعد القطع، قد تكون بعض الفواصل الصحيحة وحدها ذات معنى، حتى لو تم استخدام خط كوسيلة مساعدة بصرية.
يجب أن يحترم التمثيل معنى البيانات.

10. Vérifier l’appartenance d’un point10. التحقق من انتماء نقطة

Pour savoir si le point (3 ; 7) satisfait y = 2 × x + 1, remplacez x par 3 :
le membre de droite vaut 2 × 3 + 1 = 7.
Il est égal à l’ordonnée proposée, donc le point satisfait la relation.
Pour (3 ; 8), le même calcul donne 7 et non 8 :
ce point ne satisfait pas la relation.
Vous vérifiez une égalité, pas une impression de proximité sur le dessin.
Le cadre de la figure s’arrête à x = 2, mais la formule permet ici ce contrôle à x = 3.لمعرفة ما إذا كانت النقطة (3 ; 7) تفي بـ y = 2 × x + 1، استبدل x بـ 3:
الجانب الأيمن يساوي 2 × 3 + 1 = 7.
وهي تساوي الترتيبة المقترحة، وبالتالي فإن النقطة تحقق العلاقة.
بالنسبة لـ (3 ; 8)، نفس الحساب يعطي 7 وليس 8:
هذه النقطة لا تحقق العلاقة.
أنت تتحقق من المساواة، وليس الانطباع بالقرب في الرسم.
يتوقف إطار الشكل عند x = 2، لكن الصيغة هنا تسمح بهذا التحقق عند x = 3.

Si l’ordonnée est donnée et l’abscisse inconnue, résolvez l’équation.
Pour y = 7, écrivez 7 = 2 × x + 1 ;
soustrayez 1 :
6 = 2 × x ;
divisez par 2 :
x = 3.
Vérifiez en remplaçant cette valeur dans la relation initiale.
Ne confondez pas chercher y à partir de x et chercher x à partir de y :
l’opération doit répondre à la donnée connue.
Ce modèle donne une réponse unique dans les deux sens parce que son coefficient 2 est non nul ;
ce n’est pas une propriété de toute relation possible.إذا كانت الترتيبة معطاة والفاصلة مجهولة، قم بحل المعادلة.
لـ y = 7 اكتب 7 = 2 × x + 1 ;
اطرح 1:
6 = 2 × x ;
قسمة على 2:
x = 3.
تحقق من خلال استبدال هذه القيمة في العلاقة الأولية.
لا تخلط بين البحث عن y من x والبحث عن x من y:
يجب أن تستجيب العملية للبيانات المعروفة.
يعطي هذا النموذج إجابة فريدة في كلا الاتجاهين لأن معامله 2 ليس صفراً؛
إنها ليست خاصية لكل علاقة ممكنة.

11. Une droite ne signifie pas forcément proportionnalité11. الخط المستقيم لا يعني بالضرورة التناسب

Quand x augmente d’une unité dans y = 2 × x + 1, y augmente de deux unités.
Le terme 2 indique un rythme constant de variation entre les deux valeurs, et le terme 1 est la valeur de y quand x vaut zéro.
La droite coupe donc l’axe vertical au point (0 ; 1), pas à l’origine O.
Cette relation est affine.
Elle n’est pas une proportionnalité directe, car le quotient y/x n’est pas constant pour x non nul :
à x = 1 il vaut 3, et à x = 2 il vaut 5/2.عندما يزيد x بوحدة واحدة في y = 2 × x + 1، y يزيد بوحدتين.
يشير الحد 2 إلى معدل ثابت للتغير بين القيمتين، والحد 1 هو قيمة y عندما يكون x صفراً.
وبالتالي فإن الخط يتقاطع مع المحور الرأسي عند النقطة (0 ; 1)، وليس عند نقطة الأصل O.
هذه العلاقة تآلفية.
وهي ليست تناسباً طردياً، لأن حاصل القسمة y/x ليس ثابتاً عندما لا يساوي x صفراً:
عند x = 1 يساوي 3، وعند x = 2 يساوي 5/2.

Une proportionnalité directe de la forme y = k × x, étudiée précédemment, passe par l’origine lorsque zéro fait partie du domaine.
Le coefficient k donne le même multiplicateur pour chaque valeur.
Pour notre relation avec le terme fixe 1, doubler x ne double pas généralement y.
Passer de x = 1 à x = 2 fait passer y de 3 à 5, et non de 3 à 6.
Ne choisissez donc pas une règle de trois uniquement parce que les points sont alignés.
La formule, le passage par zéro et les rapports doivent être examinés ensemble.التناسب المباشر للشكل y = k × x، الذي تمت دراسته سابقًا، يمر عبر الأصل عندما يكون الصفر جزءًا من المجال.
المعامل k يعطي نفس المضاعف لكل قيمة.
بالنسبة لعلاقتنا بالحد الثابت 1، فإن مضاعفة x لا تضاعف y عموماً.
التغيير من x = 1 إلى x = 2 يغير y من 3 إلى 5، وليس من 3 إلى 6.
لذلك لا تختار قاعدة الثلاثة لمجرد أن النقاط تصطف.
ينبغي النظر إلى الصيغة والتقاطع الصفري والنسب معًا.

12. Exemple : un volume avec une quantité initiale12. مثال: حجم بكمية أولية

Un réservoir fictif contient initialement 2 L.
Un apport idéal de débit constant ajoute 3 L par minute, sans sortie de liquide.
Le volume V après t minutes est V = 3 × t + 2, pour les temps étudiés où la capacité n’est pas dépassée.
À t = 0, V = 2 L ;
à t = 1, V = 5 L ;
à t = 2, V = 8 L ;
à t = 3, V = 11 L.
Chaque couple associe un temps à un volume, avec des unités différentes sur les axes.خزان خيالي يحتوي في البداية على 2 L.
يضيف معدل التدفق الثابت المثالي 3 L في الدقيقة، دون إخراج سائل.
الحجم V بعد t دقيقة هو V = 3 × t + 2 للأوقات المدروسة التي لا تتجاوز فيها السعة.
في t = 0، V = 2 L ;
في t = 1، V = 5 L ;
في t = 2، V = 8 L ;
في t = 3، V = 11 L.
يربط كل زوج وقتًا بحجم، بوحدات مختلفة على المحاور.

Le coefficient 3 a ici l’unité litre par minute, tandis que le terme fixe 2 a l’unité litre.
Entre une et trois minutes, le volume augmente de 11 − 5 = 6 L en 3 − 1 = 2 minutes ;
le rythme moyen vaut 6/2 = 3 L par minute.
Le volume total n’est pas directement proportionnel au temps, car 2 L sont présents au départ.
Seul le volume ajouté, V − 2, suit ce modèle proportionnel.
Si le débit change ou si le réservoir atteint sa capacité, cette relation simple ne décrit plus automatiquement la situation.المعامل 3 هنا له وحدة اللتر في الدقيقة، بينما الحد الثابت 2 له وحدة اللتر.
بين دقيقة وثلاث دقائق، يرتفع الحجم بمقدار 11 − 5 = 6 L خلال 3 − 1 = 2 دقيقة؛
متوسط معدل التغير 6/2 = 3 L للدقيقة.
الحجم الإجمالي لا يتناسب طرديا مع الوقت، لأن 2 L موجودة في البداية.
فقط الحجم المضاف، V − 2، يتبع هذا النمط المتناسب.
إذا تغير معدل التدفق أو وصل الخزان إلى سعته، فإن هذه العلاقة البسيطة لم تعد تصف الموقف تلقائيًا.

13. Domaine et unicité : ce que représente la relation13. المجال والتفرد: ما تمثله العلاقة

Pour y = 2 × x + 1, chaque abscisse choisie donne une seule ordonnée.
Cette propriété permet de parler d’une fonction, notion approfondie ensuite dans le programme.
Dans un relevé réel, plusieurs observations peuvent avoir la même abscisse et des ordonnées différentes :
deux mesures au même instant, par exemple.
Un ensemble de points n’est donc pas automatiquement une fonction du temps sans préciser ce qui est mesuré.
Avant toute lecture inverse, vérifiez aussi qu’une même ordonnée ne correspond pas à plusieurs abscisses.بالنسبة إلى y = 2 × x + 1، كل فاصلة مختارة تعطي ترتيبة واحدة.
تسمح لنا هذه الخاصية بالحديث عن دالة، وهو مفهوم سيُدرس بعمق لاحقاً في البرنامج.
في القياس الحقيقي، يمكن أن يكون لعدة ملاحظات الفاصلة نفسها وتراتيب مختلفة:
قياسان في نفس الوقت، على سبيل المثال.
وبالتالي فإن مجموعة النقاط لا تكون تلقائيًا دالة للوقت دون تحديد ما يتم قياسه.
قبل أي قراءة عكسية، تأكد أيضًا من أن الترتيبة نفسها لا تقابل عدة فواصل.

Le domaine est l’ensemble des valeurs autorisées pour l’entrée.
Le modèle du réservoir ne représente pas un temps négatif avant l’origine choisie ni un volume au-delà de sa capacité.
La formule abstraite y = 2 × x + 1 peut être calculée pour un x négatif, mais une situation concrète peut le refuser.
Écrire une équation ne supprime pas ces contraintes.
Une valeur hors du dessin peut être calculable, tandis qu’une valeur hors du domaine n’a pas le sens prévu dans le modèle.
Gardez ces deux limites séparées dans votre explication.المجال هو مجموعة القيم المسموح بها للدخول.
لا يمثل نموذج الخزان وقتًا سالبًا قبل الأصل المختار ولا حجمًا يتجاوز سعته.
يمكن حساب الصيغة المجردة y = 2 × x + 1 عند قيمة سالبة لـ x، ولكن قد لا يسمح بها سياق واقعي.
كتابة معادلة لا تزيل هذه القيود.
قد تكون القيمة خارج الرسم قابلة للحساب، في حين أن القيمة خارج المجال ليس لها المعنى المقصود في النموذج.
أبقِ هذين الحدين منفصلين في شرحك.

14. Entraînement guidé et corrections14. التدريب الموجه والتصحيحات

Cachez les réponses puis travaillez sur le repère et la relation.
A :
donnez l’abscisse de D et l’ordonnée de C.
B :
placez le point (1 ; −2) et expliquez ses directions.
C :
calculez y pour x = −3 dans y = 2 × x + 1.
D :
vérifiez si (2 ; 4) satisfait cette relation.
E :
dans le modèle du réservoir, calculez le volume après 4 minutes, en supposant que la capacité le permet.
Écrivez les coordonnées dans l’ordre et conservez les unités lorsqu’elles sont définies.أخفِ الإجابات ثم اعمل على المعلم والعلاقة.
A:
أعط فاصلة D وترتيبة C.
B:
ضع النقطة (1 ; −2) واشرح اتجاهاتها.
C:
احسب y لـ x = −3 في y = 2 × x + 1.
D:
تحقق مما إذا كان (2 ; 4) يرضي هذه العلاقة.
E:
في نموذج الخزان، احسب الحجم بعد 4 دقائق، بافتراض أن السعة تسمح بذلك.
اكتب الإحداثيات بالترتيب واحتفظ بالوحدات عندما تكون محددة.

Correction A :
l’abscisse de D vaut −3 et l’ordonnée de C vaut 2.
B :
une unité à droite, deux unités vers le bas.
C :
2 × (−3) + 1 = −5.
D :
non, car 2 × 2 + 1 = 5 et non 4.
E :
3 × 4 + 2 = 14 L.
Refaites les calculs en vérifiant les signes et les priorités.
Expliquez pourquoi (−2 ; 3) et (3 ; −2) sont deux points différents, puis pourquoi une valeur calculée hors du cadre peut rester valable si elle appartient au domaine du modèle.تصحيح A:
فاصلة D تساوي −3 وترتيبة C تساوي 2.
B:
وحدة واحدة لليمين ووحدتين للأسفل.
C:
2 × (−3) + 1 = −5.
D:
لا، لأن 2 × 2 + 1 = 5 وليس 4.
E:
3 × 4 + 2 = 14 L.
أعد الحسابات، وتحقق من الإشارات والأولويات.
اشرح لماذا (−2 ; 3) و (3 ; −2) نقطتان مختلفتان، ولماذا يمكن أن تظل القيمة المحسوبة خارج إطار الرسم صالحة إذا كانت تقع ضمن مجال النموذج.

15. Synthèse et travail dans le carnet15. ملخص والعمل في دفتر الملاحظات

Dans nos repères, l’abscisse x est horizontale et l’ordonnée y verticale ;
le couple est ordonné (x ; y).
L’origine vaut (0 ; 0).
Les signes indiquent les directions et une coordonnée nulle place le point sur un axe.
Pour représenter une relation, choisissez des valeurs autorisées, calculez les couples, construisez le tableau et placez les points avec les bonnes graduations.
Vérifiez une appartenance par substitution.
Une relation affine avec un terme fixe non nul n’est pas une proportionnalité directe, même si sa représentation est une droite.في معالمنا، الفاصلة x أفقية والترتيبة y رأسية؛
والزوج مرتب (x ; y).
الأصل هو (0 ; 0).
تشير الإشارات إلى الاتجاهات والإحداثيات الصفرية تضع النقطة على المحور.
لتمثيل العلاقة، اختر القيم المسموح بها، واحسب الأزواج، وأنشئ الجدول، ثم ضع النقاط بالتدرج الصحيح.
التحقق من الانتماء عن طريق الاستبدال.
إن العلاقة التآلفية مع حد ثابت غير الصفر لا تعتبر تناسبا طرديا، حتى لو كان تمثيلها خطا مستقيما.

Dans votre carnet, dessinez un repère, placez A, B, C et D puis relisez leurs coordonnées sans regarder les réponses.
Refaites le tableau de y = 2 × x + 1 et ajoutez deux valeurs décimales de votre choix.
Vérifiez un point qui satisfait la relation et un autre qui ne la satisfait pas.
Enfin, rédigez la différence entre un plan de position et un graphique temps-volume.
Vous serez prêt pour la suite lorsque vous pourrez passer du couple au dessin, du tableau à la formule et de la formule à une interprétation précise.في دفترك، ارسم معلماً، ضع A، B، C وD ثم أعد قراءة إحداثياتها دون النظر إلى الإجابات.
أعد جدول y = 2 × x + 1 وأضف قيمتين عشريتين من اختيارك.
حدد نقطة واحدة ترضي العلاقة وأخرى لا ترضيها.
وأخيرا، اكتب الفرق بين مخطط الموقع والرسم البياني للزمن والحجم.
ستكون جاهزًا لما سيأتي بعد ذلك عندما يمكنك الانتقال من الزوج المرتب إلى الرسم، ومن الجدول إلى الصيغة، ومن الصيغة إلى التفسير الدقيق.