1. Deux grandeurs peuvent varier ensemble1. إمكانية تغير مقدارين معاً

Une grandeur est une quantité que l’on peut mesurer ou compter :
longueur, durée, masse, nombre de pièces ou volume.
Deux grandeurs liées ne sont pas forcément proportionnelles.
Si l’on double le nombre de pièces identiques et que leur masse totale double, on peut reconnaître une proportionnalité directe sous certaines conditions.
Si l’on double une vitesse constante et que la durée nécessaire pour parcourir une même distance est divisée par deux, on rencontre une proportionnalité inverse.
Le sens de la situation vient avant le calcul.المقدار هو كمية يمكن قياسها أو عدّها:
مثل الطول، أو المدة الزمنية، أو الكتلة، أو عدد القطع، أو الحجم.
لا يعني بالضرورة وجود علاقة ارتباط بين مقدارين أنهما متناسبان.
فإذا ضاعفنا عدد قطع متماثلة وتضاعفت كتلتها الإجمالية، يمكننا رصد تناسب طردي (بشروط معينة).
أما إذا ضاعفنا سرعة ثابتة وقُسِم الزمن اللازم لقطع مسافة معينة على اثنين، فإننا نكون أمام تناسب عكسي.
إن فهم سياق الموقف يسبق إجراء الحسابات.

Ce cours construit ces deux modèles avec des mots, des tableaux et des formules.
Vous apprendrez à choisir ce qui reste constant et à expliquer pourquoi vous multipliez ou divisez.
Nous utiliserons des exemples fictifs simples pour comprendre les relations, sans supposer que toute machine réelle suit exactement le modèle.
Une valeur calculée n’est utile que si les hypothèses décrivent la situation.
Gardez une feuille :
avant chaque opération, écrivez les deux grandeurs, leurs unités et la condition qui relie les données.يبني هذا الدرس هذين النموذجين باستخدام الكلمات والجداول والصيغ الرياضية.
ستتعلم كيفية تحديد العنصر الثابت وتبرير سبب الضرب أو القسمة.
سنستخدم أمثلة افتراضية بسيطة لفهم العلاقات، دون افتراض أن أي آلة حقيقية تتبع النموذج بدقة تامة؛
فالقيمة المحسوبة لا تكون مفيدة إلا إذا كانت الفرضيات تصف الموقف بدقة.
احتفظ بورقة عمل:
وقبل إجراء أي عملية حسابية، دوّن المقدارين ووحدات قياسهما والشرط الذي يربط بين المعطيات.

2. Objectifs et bases à reprendre2. الأهداف والمفاهيم الأساسية للمراجعة

À la fin du cours, vous devrez reconnaître une proportionnalité directe par un quotient constant et une proportionnalité inverse par un produit constant.
Vous pourrez compléter un tableau, calculer une quatrième valeur et vérifier le résultat par une autre méthode.
Vous distinguerez ces modèles d’une relation comprenant un terme fixe.
Vous expliquerez aussi pourquoi une augmentation peut produire un résultat plus grand dans un cas et plus petit dans l’autre.
Il ne suffit pas de remarquer que deux valeurs augmentent ou diminuent.في نهاية الدرس، ستكون قادراً على تمييز التناسب الطردي من خلال "خارج قسمة ثابت" (نسبة ثابتة)، والتمييز بينه وبين التناسب العكسي الذي يتميز بـ "حاصل ضرب ثابت".
ستتمكن من إكمال الجداول، وحساب قيمة رابعة، والتحقق من النتيجة بطريقة أخرى.
كما ستتمكن من التمييز بين هذه النماذج وبين العلاقات التي تتضمن حداً ثابتاً، وستشرح سبب إمكانية أن تؤدي الزيادة إلى نتيجة أكبر في حالة ما، ونتيجة أصغر في حالة أخرى؛
إذ لا يكفي مجرد ملاحظة أن قيمتين تزدادان أو تنقصان معاً.

Reprenez les fractions, les ratios, les conversions et l’isolement d’une inconnue.
Vous devez pouvoir calculer une valeur par unité, lire une division avec son unité et comparer des rapports.
Par exemple, 12 pièces en 3 minutes correspondent à 4 pièces par minute si le débit de production est constant sur la période.
L’inverse, 3/12 minute par pièce, décrit une durée moyenne par pièce.
Ces deux rapports peuvent être corrects, mais leurs unités et leurs usages sont différents.
Choisissez celui qui répond à votre question.راجع مفاهيم الكسور، والنسب، وعمليات التحويل، وعزل المجهول.
يجب أن تكون قادراً على حساب القيمة لكل وحدة، وقراءة ناتج القسمة مع وحدته، ومقارنة النسب.
على سبيل المثال، 12 قطعة في 3 دقيقة تعادل 4 قطعة في الدقيقة إذا كان معدل الإنتاج ثابتاً خلال تلك الفترة.
أما العكس، أي 3/12 دقيقة لكل قطعة، فيصف متوسط المدة الزمنية للقطعة الواحدة.
كلتا النسبتين صحيحتان، لكن وحداتهما واستخداماتهما تختلف؛
لذا اختر النسبة التي تجيب على سؤالك.

3. Proportionnalité directe : la même multiplication3. التناسب الطردي: عملية الضرب نفسها

Deux grandeurs sont directement proportionnelles lorsque l’une est obtenue en multipliant l’autre par un même coefficient constant.
Écrivons y = k × x.
Si x est multiplié par 3, y est aussi multiplié par 3, puisque k ne change pas.
Pour des pièces identiques de masse 0,25 kg chacune, la masse totale est m = 0,25 × n, où n est le nombre de pièces.
Deux pièces donnent 0,5 kg ;
six donnent 1,5 kg ;
dix donnent 2,5 kg.تكون كميتان متناسبتين طردياً عندما نحصل على إحداهما بضرب الأخرى في معامل ثابت نفسه.
لنكتب y = k × x.
إذا ضُربت x في 3، فإن y تُضرب أيضاً في 3، نظراً لأن k لا تتغير.
بالنسبة لقطع متماثلة كتلة كل منها 0,25 كجم، تكون الكتلة الإجمالية m = 0,25 × n، حيث n هو عدد القطع.
قطعتان تعطيان 0,5 كجم؛
وست قطع تعطي 1,5 كجم؛
وعشر قطع تعطي 2,5 كجم.

Le coefficient k a un sens et parfois une unité.
Ici, il vaut 0,25 kg par pièce.
Le modèle suppose des pièces de même masse et une masse totale sans emballage ajouté.
Si les pièces diffèrent, un coefficient unique ne convient pas automatiquement.
Une situation directement proportionnelle vérifie aussi que zéro unité de la première grandeur correspond à zéro unité de la seconde, lorsque zéro appartient au domaine du modèle.
Cette propriété sera utile pour distinguer une relation proportionnelle d’une relation avec un coût ou une masse fixe.للمعامل k دلالة معينة، وأحياناً تكون له وحدة قياس.
هنا، تبلغ القيمة 0,25 كجم للقطعة الواحدة.
يفترض النموذج أن القطع متساوية الكتلة وأن الكتلة الإجمالية لا تتضمن أي وزن إضافي للتغليف.
وإذا كانت القطع مختلفة، فإن استخدام معامل واحد لا يكون مناسباً بالضرورة.
كما تتحقق حالة التناسب الطردي عندما تقابل صفر وحدة من الكمية الأولى صفر وحدة من الكمية الثانية، وذلك في حال كان الصفر ضمن نطاق النموذج.
وتُعد هذه الخاصية مفيدة للتمييز بين العلاقة التناسبية والعلاقة التي تتضمن تكلفة أو كتلة ثابتة.

4. Tester un quotient constant4. اختبار ثبات النسبة (الخارج)

Pour tester une proportionnalité directe dans un tableau, calculez y/x pour chaque paire dont x est non nul, en conservant les mêmes unités.
Avec x égal à 2, 6 et 10 pièces, et y égal à 0,5, 1,5 et 2,5 kg, les trois quotients valent 0,25 kg par pièce.
Ce quotient commun est le coefficient k.
Il faut comparer des paires correspondant à la même situation :
un nombre d’un lot ne doit pas être divisé par la masse d’un autre lot.لاختبار التناسب الطردي في جدول ما، احسب y/x لكل زوج تكون فيه قيمة x غير صفرية، مع الحفاظ على الوحدات نفسها.
فإذا كانت قيم x تساوي 2 و6 و10 قطعة، وقيم y تساوي 0,5 و1,5 و2,5 كجم، فإن نواتج القسمة الثلاثة تساوي 0,25 كجم للقطعة الواحدة.
وتُمثّل هذه النسبة المشتركة المعامل k.
ويجب مقارنة الأزواج التي تنتمي إلى الحالة نفسها؛
إذ لا يجوز قسمة عدد من مجموعة ما على كتلة مجموعة أخرى.

Un tableau de quelques mesures compatibles ne prouve pas que le modèle reste valable dans toutes les conditions.
Les mesures peuvent être arrondies ou contenir une incertitude.
Dans ce cours, les nombres exacts sont choisis pour apprendre la méthode.
Si des valeurs réelles donnent des quotients légèrement différents, n’effacez pas les écarts pour imposer la proportionnalité ;
examinez les données et le domaine de fonctionnement.
Et ne calculez jamais y/x pour x = 0 :
vérifiez séparément la paire correspondant à zéro.لا يثبت جدول بعض القياسات المتوافقة أن النموذج يظل صالحًا في جميع الظروف.
قد يتم تقريب القياسات أو تحتوي على عدم اليقين.
في هذه الدورة يتم اختيار أرقام دقيقة لتعلم الطريقة.
إذا كانت القيم الحقيقية تعطي نواتج مختلفة قليلا، فلا تمحو الاختلافات لفرض التناسب؛
فحص البيانات ومنطقة التشغيل.
ولا تحسب أبدًا y/x لـ x = 0:
تحقق من الزوج المقابل للصفر بشكل منفصل.

5. Tableau direct et passage par l’unité5. الجدول المباشر والمرور عبر الوحدة

Un tuyau idéal contient 1,8 L pour une longueur de 3 m, avec la même section intérieure partout.
On cherche le volume correspondant à 7 m.
Le volume par mètre vaut 1,8/3 = 0,6 L/m.
Pour 7 m, le volume vaut 0,6 × 7 = 4,2 L.
Le passage par l’unité sépare deux questions :
combien pour un mètre, puis combien pour sept mètres.
La section doit rester identique ;
un changement de diamètre intérieur modifierait le coefficient.أنبوب مثالي يحتوي على 1,8 L بطول 3 m، مع نفس المقطع الداخلي بالكامل.
نحن نبحث عن الحجم المقابل لـ 7 m.
حجم المتر 1,8/3 = 0,6 L/m.
بالنسبة لـ 7 m، الحجم هو 0,6 × 7 = 4,2 L.
المرور عبر الوحدة يفصل بين سؤالين:
كم المتر الواحد، ثم كم سبعة أمتار.
يجب أن يظل المقطع كما هو؛
تغيير في القطر الداخلي من شأنه تعديل المعامل.

Vous pouvez également appliquer le facteur 7/3 aux deux grandeurs :
la longueur passe de 3 à 7 m, donc le volume passe de 1,8 à 1,8 × 7/3 = 4,2 L.
Ce facteur n’a pas d’unité car il compare deux longueurs dans la même unité.
Les deux méthodes doivent coïncider.
Dans votre tableau, inscrivez une ligne pour les longueurs et une pour les volumes, puis dessinez la même flèche de multiplication sur chaque ligne.
Cela rend visible la logique du calcul.يمكنك أيضًا تطبيق العامل 7/3 على الكميتين:
الطول ينتقل من 3 إلى 7 m، فينتقل الحجم من 1,8 إلى 1,8 × 7/3 = 4,2 L.
هذا العامل ليس له وحدة لأنه يقارن بين طولين في نفس الوحدة.
ويجب أن تتطابق الطريقتان.
في جدولك، اكتب صفًا واحدًا للأطوال وصفًا للأحجام، ثم ارسم نفس سهم الضرب في كل صف.
وهذا يجعل منطق الحساب مرئيًا.

6. Quatrième proportionnelle et produit en croix6. القيمة الرابعة المتناسبة والضرب التبادلي

Avec un modèle direct, une première paire x₁, y₁ et une nouvelle valeur x₂ donnent y₂ = y₁ × x₂/x₁, si x₁ est non nul.
Cette écriture vient de y₁/x₁ = y₂/x₂ lorsque les deux quotients sont définis.
Prenons 4 kg d’un matériau pour 16 pièces identiques :
pour 30 pièces, la masse vaut 4 × 30/16 = 7,5 kg.
Une méthode par pièce donnerait 4/16 = 0,25 kg par pièce, puis le même résultat.بنموذج مباشر زوج أول x₁، y₁ وقيمة جديدة x₂ تعطي y₂ = y₁ × x₂/x₁، إذا كان x₁ غير صفر.
هذه الكتابة تأتي من y₁/x₁ = y₂/x₂ عندما يتم تعريف الناتجين.
لنأخذ 4 كجم من مادة لـ 16 قطع متطابقة:
لـ 30 قطع، الكتلة 4 × 30/16 = 7,5 كجم.
طريقة القطعة ستعطي 4/16 = 0,25 كجم للقطعة الواحدة، ثم نفس النتيجة.

Le produit en croix est une conséquence d’une égalité de rapports, pas une formule à appliquer à toute liste de quatre nombres.
Écrivez d’abord l’égalité et indiquez quelles valeurs vont ensemble.
Si vous inversez un seul rapport, vous changez le modèle.
Avec 16 pièces pour 4 kg, 30 pièces pour une masse cherchée, vous pouvez écrire 16/4 = 30/m ou 4/16 = m/30.
Les deux égalités sont cohérentes.
Ne mélangez pas les numérateurs d’une version avec les dénominateurs de l’autre.الضرب التبادلي هو نتيجة لتساوي النسب، وليس صيغة يتم تطبيقها على أي قائمة مكونة من أربعة أرقام.
اكتب أولاً المساواة وحدد القيم التي تتوافق معًا.
إذا قمت بعكس نسبة واحدة، فإنك تغير النموذج.
مع 16 قطع لـ 4 كجم، 30 قطع للكتلة المطلوبة، يمكنك كتابة 16/4 = 30/m أو 4/16 = m/30.
والمساواة بين الاثنين متسقة.
لا تخلط بسط نسخة واحدة مع مقامات النسخة الأخرى.

7. Échelles et conversions cohérentes7. مقاييس وتحويلات متسقة

À l’échelle 1:50, une longueur sur le dessin est cinquante fois plus petite que la longueur réelle.
Une longueur dessinée de 4 cm représente 200 cm, soit 2 m.
Le modèle concerne ici les longueurs.
Pour comparer une longueur dessinée avec une longueur réelle, commencez par les exprimer dans la même unité.
Écrire directement 4/2 sans préciser centimètres et mètres ne donne pas le rapport d’échelle.
Le coefficient dépend du sens choisi :
réel vers dessin ou dessin vers réel.بمقياس 1:50، الطول في الرسم أصغر بخمسين مرة من الطول الفعلي.
الطول المرسوم 4 cm يمثل 200 cm أو 2 m.
النموذج هنا يتعلق بالأطوال.
لمقارنة طول مرسوم بالطول الفعلي، ابدأ بالتعبير عنهما بنفس الوحدة.
كتابة 4/2 مباشرة دون تحديد السنتيمترات والأمتار لا تعطي نسبة المقياس.
يعتمد المعامل على الاتجاه المختار:
حقيقي للرسم أو الرسم للحقيقي.

Les aires ne suivent pas le même facteur que les longueurs.
Si toutes les longueurs sont multipliées par 2, les aires sont multipliées par 4 et les volumes par 8.
À l’échelle 1:50, une aire réelle est 2 500 fois l’aire correspondante sur le dessin, dans la même unité d’aire.
Cela ne contredit pas la proportionnalité directe entre les longueurs ;
il s’agit d’une autre relation.
Reprenez le cours de géométrie si vous confondez le facteur linéaire et son carré ou son cube.المساحات لا تتبع نفس عامل الأطوال.
إذا ضربت جميع الأطوال في 2، فسيتم ضرب المساحات في 4 والأحجام في 8.
بمقياس 1:50، المساحة الفعلية هي 2 500 أضعاف المساحة المقابلة في الرسم، في نفس وحدة المساحة.
وهذا لا يتعارض مع التناسب الطردي بين الأطوال؛
إنها علاقة أخرى.
ارجع إلى فصل الهندسة إذا كنت تخلط بين العامل الخطي ومربعه أو مكعبه.

8. Proportionnalité inverse : partager un total fixe8. التناسب العكسي: تقاسم إجمالي ثابت

Deux grandeurs sont inversement proportionnelles lorsque leur produit reste constant.
Écrivons x × y = C, donc y = C/x avec x non nul.
Si x double, y est divisé par deux ;
si x triple, y est divisé par trois.
Pour une distance fixée à 120 km et une vitesse constante v, la durée t vérifie v × t = 120.
À 40 km/h, elle vaut 3 h ;
à 60 km/h, 2 h ;
à 80 km/h, 1,5 h.كميتان متناسبتان عكسيا عندما يظل حاصل ضربهما ثابتا.
لنكتب x × y = C، إذن y = C/x مع غير الصفر x.
إذا تضاعف x، فإن y سينخفض إلى النصف؛
إذا كان x ثلاثة أضعاف، فإن y مقسوم على ثلاثة.
لمسافة ثابتة 120 كلم وسرعة ثابتة v المدة t تتحقق v × t = 120.
في 40 km/h، هو 3 h؛
في 60 km/h, 2 h;
على 80 km/h، 1,5 h.

Le modèle suppose que la distance reste la même et que la vitesse donnée décrit bien tout le trajet étudié.
Ce calcul sert ici d’exemple mathématique, sans constituer une recommandation de conduite.
Un temps d’arrêt supplémentaire changerait la durée totale et pourrait rompre la relation simple.
Dans un partage égal, le même raisonnement apparaît :
24 pièces distribuées dans n boîtes donnent 24/n pièces par boîte lorsque la division correspond à un partage possible.
Le contexte peut donc imposer des valeurs entières en plus de la formule.يفترض النموذج أن المسافة تظل كما هي وأن السرعة المعطاة تصف المسار المدروس بالكامل.
يُستخدم هذا الحساب هنا كمثال رياضي، دون أن يشكل توصية قيادة.
قد يؤدي وقت التوقف الإضافي إلى تغيير المدة الإجمالية وقد يؤدي إلى قطع العلاقة البسيطة.
في التوزيع بالتساوي، يظهر نفس المنطق:
24 قطع موزعة على n صناديق تعطي 24/n قطعة لكل صندوق عندما يتوافق القسمة مع توزيع ممكن.
وبالتالي يمكن للسياق أن يفرض قيمًا صحيحة بالإضافة إلى الصيغة.

9. Tester un produit constant9. اختبر حاصل ضرب ثابتًا

Pour reconnaître une proportionnalité inverse, calculez les produits des paires correspondantes dans les mêmes unités.
Avec v = 40, 60 et 80 km/h et t = 3, 2 et 1,5 h, les produits valent tous 120 km.
Les quotients t/v ne sont pas constants ;
ce n’est pas un défaut, car le test direct n’est pas celui du modèle inverse.
Écrivez le nom du test à côté de votre calcul :
quotient pour direct, produit pour inverse.للتعرف على التناسب العكسي، احسب حاصل ضرب الأزواج المتناظرة في نفس الوحدات.
مع v = 40 و60 و80 km/h وt = 3 و2 و1,5 h، تبلغ قيمة حاصل الضربات كلها 120 كيلومترًا.
حاصل القسمة t/v ليس ثابتًا؛
وهذا ليس عيبا، لأن الاختبار المباشر ليس هو اختبار النموذج العكسي.
اكتب اسم الاختبار بجوار العملية الحسابية التي أجريتها:
حاصل القسمة للتناسب الطردي، وحاصل الضرب للتناسب العكسي.

Constater qu’une grandeur diminue quand l’autre augmente ne suffit pas.
La relation y = 10 − x diminue aussi, mais les produits ne sont pas constants :
pour x = 2, y = 8 donne 16 ;
pour x = 4, y = 6 donne 24.
Ce modèle n’est donc pas une proportionnalité inverse.
Vérifiez le produit, pas seulement le sens de variation.
De même, un calcul inverse n’autorise jamais x = 0 :
la formule C/x comporte une division qui doit être définie.ملاحظة نقص كمية واحدة عند زيادة الكمية الأخرى لا يكفي.
العلاقة y = 10 − x تتناقص أيضًا، لكن النواتج ليست ثابتة:
لـ x = 2، y = 8 يعطي 16؛
لـ x = 4، y = 6 يعطي 24.
وبالتالي فإن هذا النموذج ليس تناسبًا عكسيًا.
التحقق من حاصل الضرب، وليس فقط اتجاه التغير.
وبالمثل، فإن الحساب العكسي لا يسمح أبدًا بـ x = 0:
الصيغة C/x تتضمن قسمة يجب تحديدها.

10. Compléter un tableau inverse10. أكمل الجدول العكسي

Un volume fixé à 240 L est transféré avec un débit constant Q.
La durée t vérifie Q × t = 240 si Q est en L/min et t en minutes.
À 12 L/min, t = 20 min.
À 20 L/min, t = 12 min.
À 30 L/min, t = 8 min.
Pour chercher une nouvelle durée, calculez le total constant, puis divisez ce total par le nouveau débit.
Écrivez toujours l’unité de débit et l’unité de temps avant de multiplier.حجم ثابت عند 240 L منقول بمعدل ثابت Q.
المدة t تتحقق من Q × t = 240 إذا كان Q موجود في L/min و t موجود في دقائق.
في 12 L/min، t = 20 min.
في 20 L/min، t = 12 min.
في 30 L/min، t = 8 min.
للعثور على مدة جديدة، احسب الإجمالي الثابت، ثم اقسم هذا الإجمالي على معدل التدفق الجديد.
اكتب دائمًا وحدة التدفق ووحدة الوقت قبل الضرب.

Vous pouvez partir directement d’une paire :
t₂ = t₁ × Q₁/Q₂.
Si le débit passe de 12 à 30 L/min, il est multiplié par 2,5 ;
la durée est divisée par 2,5 :
20/2,5 = 8 min.
Dans le tableau, les flèches ont donc des opérations inverses.
Ne multipliez pas également la durée par 2,5, car cela augmenterait le volume transféré au lieu de conserver 240 L.
Le modèle suppose un débit constant et néglige les phases de démarrage ou d’arrêt.يمكنك البدء مباشرة من زوج:
t₂ = t₁ × Q₁/Q₂.
إذا انتقل معدل التدفق من 12 إلى 30 L/min، يتم ضربه بـ 2,5؛
المدة مقسمة على 2,5:
20/2,5 = 8 min.
وبالتالي، فإن الأسهم في الجدول لها عمليات عكسية.
ولا تضرب أيضًا المدة بـ 2,5، لأن ذلك سيزيد الحجم المنقول بدلًا من الاحتفاظ بـ 240 L.
يفترض النموذج تدفقًا ثابتًا ويهمل مراحل بدء التشغيل أو إيقاف التشغيل.

11. Reconnaître une relation avec un terme fixe11. التعرف على العلاقة ذات الحدّ الثابت

Un colis contient n pièces de 0,25 kg et un emballage de 0,4 kg.
Sa masse totale vérifie m = 0,25 × n + 0,4.
Pour 2 pièces, la masse vaut 0,9 kg ;
pour 4 pièces, 1,4 kg.
Doubler le nombre de pièces ne double pas la masse totale.
La masse des pièces seules est directement proportionnelle à n, mais la masse du colis complet ne l’est pas à cause du terme fixe.
Précisez quelle grandeur vous mesurez avant de choisir le modèle.العبوة الواحدة تحتوي على n قطع بوزن 0,25 كجم والتغليف بـ 0,4 كجم.
كتلته الإجمالية تتحقق m = 0,25 × n + 0,4.
بالنسبة لـ 2 القطع، تكون الكتلة 0,9 كجم؛
بـ 4 قطعة، 1,4 كجم.
مضاعفة عدد القطع لا يؤدي إلى مضاعفة الكتلة الإجمالية.
كتلة القطع وحدها تتناسب طرديا مع n، ولكن كتلة الحزمة بأكملها ليست بسبب الحدّ الثابت.
حدد الكمية التي تقيسها قبل اختيار النموذج.

Une droite sur un graphique ne prouve pas à elle seule une proportionnalité directe.
La relation y = k × x passe par l’origine, tandis que y = k × x + b avec b non nul est une relation affine comprenant un terme fixe.
Pour une proportionnalité inverse positive, le graphique forme une courbe et non une droite décroissante quelconque.
Dans ce cours, nous privilégions les tableaux et les formules :
ils permettent de justifier le choix sans se fier à l’impression visuelle d’un dessin.الخط الموجود على الرسم البياني لا يثبت في حد ذاته التناسب الطردي.
العلاقة y = k × x تمر عبر الأصل، بينما y = k × x + b مع غير الصفر b هي علاقة تآلفية تتضمن حدًا ثابتًا.
بالنسبة للتناسب العكسي الإيجابي، يشكل الرسم البياني منحنى وليس أي خط مستقيم متناقص.
في هذه الدورة، نفضل الجداول والصيغ:
فهي تسمح لنا بتبرير الاختيار دون الاعتماد على الانطباع البصري للرسم.

12. Choisir le modèle dans un énoncé12. اختر النموذج من نص المسألة

Posez trois questions avant de calculer :
quelles sont les deux grandeurs, qu’est-ce qui reste constant, et que se passe-t-il si la première grandeur double ?
Pour des pièces identiques, la masse par pièce reste constante :
le modèle est direct.
Pour une distance fixée, le produit vitesse-durée reste constant :
le modèle est inverse.
Pour une masse avec emballage, une partie fixe s’ajoute :
le modèle total n’est ni directement ni inversement proportionnel au nombre de pièces.
La question du double est un repère, à confirmer par le quotient ou le produit.اطرح ثلاثة أسئلة قبل الحساب:
ما الكميتين، وما الذي يبقى ثابتًا، وماذا يحدث إذا تضاعفت الكمية الأولى؟
بالنسبة للقطع المتطابقة، تظل الكتلة لكل جزء ثابتة:
النموذج مباشر.
بالنسبة لمسافة ثابتة، يظل حاصل ضرب السرعة والمدة ثابتًا:
النموذج معكوس.
بالنسبة للكتلة مع التغليف، يتم إضافة جزء ثابت:
النموذج الإجمالي لا يتناسب بشكل مباشر ولا عكسي مع عدد القطع.
إن مسألة المضاعفة هي معيار يتم تأكيده من خلال حاصل القسمة أو حاصل الضرب.

Ne supposez pas qu’augmenter le nombre de personnes ou de machines divise automatiquement un temps de travail.
Cela exige que les tâches soient parfaitement partageables, les débits identiques et indépendants, et qu’aucune contrainte commune ne limite le travail.
Un exemple scolaire peut préciser ces hypothèses ;
une installation réelle demande de les vérifier.
Une personne supplémentaire peut ne pas doubler la production.
Ce contre-exemple rappelle qu’un modèle mathématique explique une relation sous conditions, sans promettre un résultat dans toutes les situations.لا تفترض أن زيادة عدد الأشخاص أو الآلات يؤدي إلى تقسيم وقت العمل تلقائيًا.
وهذا يتطلب أن تكون المهام قابلة للمشاركة بشكل مثالي، وأن تكون معدلات التدفق متطابقة ومستقلة، وألا يكون هناك أي قيد مشترك يحد من العمل.
والمثال المدرسي يمكن أن يوضح هذه الفرضيات؛
المنشأة الفعلية يتطلب التحقق منها.
وقد لا تؤدي إضافة شخص إلى مضاعفة الإنتاج.
يذكرنا هذا المثال المضاد بأن النموذج الرياضي يشرح العلاقة في ظل ظروف، دون أن يعد بنتيجة في جميع المواقف.

13. Contrôler le résultat et les unités13. التحقق من النتيجة والوحدات

Dans le modèle direct, une quantité trois fois plus grande doit donner une valeur trois fois plus grande avec le même coefficient positif.
Dans le modèle inverse positif, elle doit donner une valeur trois fois plus petite avec le même produit.
Vérifiez ensuite numériquement le quotient ou le produit.
Pour 240 L transférés en 8 min à 30 L/min, 30 × 8 = 240 L retrouve le total.
Une durée de 50 min donnerait 1 500 L et signalerait une erreur de sens dans le facteur appliqué.في النموذج الطردي، الكمية الأكبر بثلاث مرات يجب أن تعطي قيمة أكبر بثلاث مرات بنفس المعامل الإيجابي.
وفي النموذج العكسي الموجب، يجب أن تعطي قيمة أصغر بثلاث مرات مع نفس حاصل الضرب.
ثم تحقق من حاصل القسمة أو حاصل الضرب عدديا.
بالنسبة إلى 240 L المنقول إلى 8 min إلى 30 L/min، 30 × 8 = 240 L يجد الإجمالي.
مدة 50 min ستؤدي إلى 1 500 L وستشير إلى خطأ في اتجاه العامل المطبق.

Une comparaison doit employer les mêmes unités.
Si une durée est en secondes et l’autre en minutes, convertissez avant de comparer leurs facteurs.
Une donnée nulle, une valeur négative interdite par le contexte ou une unité incompatible exige de reprendre les données.
Conservez les fractions dans les calculs intermédiaires et arrondissez seulement à la fin.
Lorsque le résultat compte des objets indivisibles, une valeur non entière peut rendre le partage demandé impossible ;
l’arrondir sans expliquer changerait le problème plutôt que le résoudre.المقارنة يجب أن تستخدم نفس الوحدات.
إذا كانت إحدى المدتين بالثواني والأخرى بالدقائق، فقم بالتحويل قبل مقارنة عواملهما.
تتطلب البيانات الصفرية أو القيمة السالبة التي يحظرها السياق أو الوحدة غير المتوافقة مراجعة البيانات.
احتفظ بالكسور في العمليات الحسابية المتوسطة وقم بتقريبها فقط في النهاية.
عندما تتضمن النتيجة كائنات غير قابلة للتجزئة، فإن قيمة ليست عددًا صحيحًا قد تجعل المشاركة المطلوبة مستحيلة؛
إن تقريبها دون شرح من شأنه أن يغير المشكلة بدلاً من حلها.

14. Entraînement guidé et corrections14. التدريب الموجه والتصحيحات

Cherchez avant la correction.
A :
5 pièces identiques pèsent 1,5 kg ;
quelle masse pour 12 pièces ?
B :
une longueur de 3 cm sur un plan à l’échelle 1:40 représente quelle longueur réelle en cm ?
C :
un total de 180 L est transféré à 15 L/min ;
quelle durée ?
D :
le débit double pour le même total ;
comment change la durée ?
E :
un emballage fixe de 0,2 kg est ajouté ;
la masse totale est-elle directement proportionnelle au nombre de pièces ?
Justifiez le modèle choisi.ابحث قبل قراءة التصحيح.
A:
5 القطع المتطابقة تزن 1,5 كجم؛
ما كتلة قطع 12؟
B:
طول 3 cm على مخطط المقياس 1:40 يمثل ما الطول الحقيقي في cm؟
C:
تم تحويل المجموع 180 L إلى 15 L/min;
ما المدة؟
D:
يتضاعف معدل التدفق لنفس المجموع؛
كيف تتغير المدة؟
E:
يضاف تغليف ذو كتلة ثابتة 0,2 كجم؛
هل الكتلة الكلية تتناسب طرديا مع عدد القطع؟
تبرير النموذج المختار.

Correction A :
1,5/5 = 0,3 kg par pièce ;
12 × 0,3 = 3,6 kg.
B :
3 × 40 = 120 cm.
C :
180/15 = 12 min.
D :
la durée est divisée par deux, à débit constant sur chaque transfert et à total identique.
E :
non, car un terme fixe s’ajoute ;
seul le contenu composé de pièces identiques suit le modèle direct.
Refaites chaque contrôle avec les données initiales :
cela révèle un rapport inversé ou un oubli de conversion.التصحيح A:
1,5/5 = 0,3 كجم للقطعة الواحدة؛
12 × 0,3 = 3,6 كجم.
B:
3 × 40 = 120 cm.
C:
180/15 = 12 min.
D:
يتم تخفيض المدة إلى النصف، بمعدل ثابت على كل تحويلة وبإجمالي مماثل.
E:
لا، لأن حدًّا ثابتًا مضافًا؛
فقط المحتوى المكون من قطع متطابقة يتبع النموذج الطردي.
أعد كل عملية تحقق باستخدام البيانات الأولية:
يكشف هذا عن نسبة معكوسة أو نسيان تحويل الوحدات.

15. Synthèse et travail dans le carnet15. ملخص والعمل في دفتر الملاحظات

La proportionnalité directe conserve un quotient :
y/x = k pour x non nul, et y = k × x.
La proportionnalité inverse conserve un produit :
x × y = C, et y = C/x pour x non nul.
La même multiplication s’applique aux deux grandeurs dans le modèle direct ;
les opérations sont inverses dans le modèle inverse.
Une relation croissante ou décroissante n’est pas automatiquement proportionnelle.
La présence d’un terme fixe, un changement de section ou un débit variable peut empêcher d’utiliser le modèle simple.التناسب الطردي يحافظ على حاصل القسمة:
y/x = k لـ x وليس صفر، و y = k × x.
التناسب العكسي يحفظ حاصل الضرب:
x × y = C، و y = C/x لـ x وليس صفرًا.
وينطبق نفس الضرب على الكميتين في النموذج الطردي؛
يتم عكس العمليات في النموذج العكسي.
العلاقة المتزايدة أو المتناقصة لا تتناسب تلقائيًا.
إن وجود حدّ ثابت أو تغيير المقطع أو معدل التدفق المتغير قد يمنع استخدام النموذج البسيط.

Dans votre carnet, construisez un tableau direct avec trois paires, un tableau inverse avec trois paires et un contre-exemple avec un terme fixe.
Écrivez les unités et calculez le quotient ou le produit à chaque colonne.
Cachez les réponses puis expliquez le choix du modèle à voix haute avant de refaire les calculs.
Vous serez prêt pour la suite lorsque vous pourrez distinguer ce qui varie de ce qui reste constant et défendre votre choix sans vous appuyer uniquement sur une règle de trois mémorisée.في دفترك، أنشئ جدولًا مباشرًا بثلاثة أزواج، وجدولًا معكوسًا بثلاثة أزواج، ومثالًا مضادًا بحد ثابت.
اكتب الوحدات واحسب حاصل القسمة أو حاصل الضرب في كل عمود.
قم بإخفاء الإجابات ثم اشرح اختيار النموذج بصوت عالٍ قبل إعادة الحسابات.
ستكون جاهزًا لما سيأتي بعد ذلك عندما تتمكن من تمييز ما يختلف عما يبقى ثابتًا والدفاع عن اختيارك دون الاعتماد فقط على قاعدة الثلاثة المحفوظة.