1. Multiplication et division

Quand la même quantité se répète, écrire une longue addition devient peu pratique.
La multiplication résume ces groupes identiques.
La division répond au problème inverse :
répartir un total ou chercher combien de groupes on peut former.
Nous partirons de pièces et de boîtes, puis nous expliquerons les calculs entiers et décimaux sans supposer que vous maîtrisez déjà les tables.

2. Objectif de la leçon

Vous saurez traduire une situation de groupes par une multiplication, distinguer les deux sens de la division, calculer avec une décomposition, expliquer la place de la virgule et contrôler un quotient.
Vous apprendrez aussi à reconnaître un reste et à expliquer pourquoi diviser par zéro ne donne pas de résultat défini.

3. Comprendre les groupes et le partage

Quatre boîtes contiennent chacune six vis.
Le total est 6 + 6 + 6 + 6 = 24 vis.
On écrit 4 × 6 = 24.
Le signe × se lit « multiplié par »
ou « fois ».
Les nombres multipliés sont les facteurs ;
le résultat est le produit.
La multiplication décrit ici quatre répétitions de la même quantité, pas quatre additions de quantités différentes.

La division peut décrire un partage :
24 vis réparties également dans quatre boîtes donnent 24 ÷ 4 = 6 vis par boîte.
Elle peut aussi décrire un groupement :
avec 24 vis et six vis par boîte, on forme 24 ÷ 6 = 4 boîtes.
Dans le premier cas, on connaît le nombre de boîtes ;
dans le second, on connaît leur contenu.
Le nombre obtenu n’a donc pas le même sens ni la même unité.

Dans 24 ÷ 4 = 6, 24 est le dividende, 4 le diviseur et 6 le quotient.
Le signe ÷ se lit « divisé par ».
L’ordre compte :
24 ÷ 4 n’est pas le même calcul que 4 ÷ 24.
Pour une multiplication de nombres, 4 × 6 et 6 × 4 donnent tous deux 24 ;
pourtant, quatre boîtes de six et six boîtes de quatre décrivent deux organisations différentes.

4. Voir un produit et son opération inverse

Le tableau relie le total au nombre de groupes et à la quantité dans chaque groupe.
Pour vérifier une division sans reste, multipliez le quotient par le diviseur :
6 × 4 = 24.
Si vous ne retrouvez pas le dividende, le calcul doit être repris.
Ce contrôle ne remplace pas la lecture de la question :
un bon nombre accompagné de la mauvaise unité peut encore être une mauvaise réponse.

5. Explication progressive

Étape 1 — Construire les résultats simples

Pour apprendre 6 × 4, vous pouvez compter 6, 12, 18, 24 :
chaque étape ajoute six.
Multiplier par deux signifie doubler ;
multiplier par un conserve le nombre.
Multiplier par zéro donne zéro, car aucun groupe n’est présent.
Pour vérifier 7 × 5, utilisez cinq groupes de sept, ou décomposez 7 en 5 et 2 :
5 × 5 + 2 × 5 = 25 + 10 = 35.
La mémorisation devient plus facile quand vous comprenez ces relations.

Étape 2 — Décomposer une multiplication

Pour calculer 26 × 14, écrivez 14 comme 10 + 4.
Dix groupes de 26 donnent 260.
Quatre groupes de 26 donnent 104, car 4 × 20 = 80 et 4 × 6 = 24.
Réunissez les deux parts :
260 + 104 = 364.
Cette méthode fonctionne parce que les quatorze groupes ont été séparés en dix groupes et quatre groupes, sans en perdre ni en compter deux fois.

Étape 3 — Comprendre le produit décimal

Pour 2,5 × 4, pensez à 25 dixièmes répétés quatre fois :
cela donne 100 dixièmes, soit 10 unités.
Pour 12,5 × 0,4, 12,5 contient 125 dixièmes et 0,4 contient quatre dixièmes.
Un dixième multiplié par un dixième donne un centième.
Le calcul 125 × 4 = 500 donne donc 500 centièmes, soit 5.
C’est cette taille des parts qui explique la virgule, pas un déplacement arbitraire.

Étape 4 — Chercher et contrôler un quotient

Pour 156 ÷ 12, cherchez combien de groupes de douze forment 156.
Dix groupes donnent 120 ;
il reste 36.
Trois groupes supplémentaires donnent 36.
On a donc treize groupes :
le quotient est 13.
Contrôlez :
12 × 13 = 156.
Pour 8,4 ÷ 4, partagez 84 dixièmes en quatre parts :
chaque part contient 21 dixièmes, donc 2,1.

6. Exemples et cas particuliers

Exemple A :
18 × 5 = 90.
Vous pouvez calculer 10 × 5 = 50 et 8 × 5 = 40, puis additionner.
Exemple B :
7,5 ÷ 0,5 = 15.
Le calcul cherche combien de demi-unités entrent dans 7,5 unités.
Multiplier simultanément le dividende et le diviseur par dix donne 75 ÷ 5, avec le même quotient :
la taille du total et celle des groupes ont augmenté dans la même proportion.

Exemple C :
53 pièces sont rangées par groupes de six.
Huit groupes utilisent 48 pièces ;
il reste cinq pièces.
Écrivez 53 = 6 × 8 + 5.
Le reste doit être plus petit que le diviseur, sinon on pourrait former un groupe supplémentaire.
Le quotient entier est 8 et le reste est 5 ;
cela ne signifie pas 8,5.
Si les pièces doivent rester entières, on annonce huit groupes complets et cinq pièces restantes.

Zéro mérite une attention particulière.
0 ÷ 5 = 0 :
répartir zéro pièce entre cinq boîtes laisse chaque boîte vide.
En revanche, 5 ÷ 0 n’est pas défini.
Pour qu’un quotient convienne, il faudrait qu’un nombre multiplié par zéro donne cinq ;
c’est impossible.
N’écrivez donc jamais zéro comme réponse à une division par zéro.

7. Application industrielle

Une commande demande 14 kits contenant chacun 26 vis.
La quantité nécessaire est 14 × 26 = 364 vis.
Si les vis sont livrées en boîtes de 50, sept boîtes donnent seulement 350 vis.
Il faut huit boîtes pour disposer d’assez de vis :
elles apportent 400 vis, et 400 − 364 = 36 vis restent.
La décision sur les boîtes exige de comprendre le reste, pas de choisir automatiquement le nombre entier le plus proche.

8. Vocabulaire essentiel

• Un facteur : un nombre utilisé dans une multiplication.

• Le produit : le résultat d’une multiplication.

• Le dividende : la quantité que l’on divise.

• Le diviseur : le nombre par lequel on divise.

• Le quotient et le reste : le résultat de la division et la quantité non répartie dans les groupes complets.

9. Points importants

Tous les groupes d’une multiplication doivent correspondre à la même quantité répétée.
En division, vérifiez ce que représente le diviseur :
nombre de groupes ou contenu d’un groupe.
Conservez le sens des unités.
Quand un calcul mesure une longueur répétée quatre fois, 2,5 mm × 4 donne 10 mm.
Multiplier deux longueurs entre elles ferait intervenir une unité de surface ;
nous reviendrons sur ce sujet dans l’unité consacrée aux grandeurs.

10. Exercice résolu étape par étape

Énoncé :
84 joints doivent être répartis également dans sept sachets.
Combien de joints contient chaque sachet ?
Le total est connu, ainsi que le nombre de sachets :
il s’agit d’un partage.
Le calcul est 84 ÷ 7.
Dix joints par sachet utilisent 70 joints ;
il reste 14 joints.
Deux joints supplémentaires par sachet utilisent les 14 restants.
Chaque sachet contient donc 12 joints.

Vérification :
sept sachets de douze joints donnent 7 × 12 = 84 joints.
Il ne reste rien et les contenus sont identiques.
Si vous aviez obtenu 14 joints par sachet, le contrôle donnerait 98 joints :
il demanderait plus de joints que le stock disponible.
Cette comparaison permet de détecter une erreur avant de préparer les sachets.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé :
calculez 32 × 15.
Séparez quinze groupes en dix groupes et cinq groupes.
Calculez chaque total partiel, additionnez-les, puis vérifiez par une autre décomposition :
15 groupes de 30 et 15 groupes de 2.
Les deux chemins doivent donner le même résultat.

Voir la correction

32 × 10 = 320 et 32 × 5 = 160 ; le total est 480. Autre chemin : 30 × 15 = 450 et 2 × 15 = 30 ; 450 + 30 = 480. Les deux décompositions reconstruisent le même produit.

En autonomie :
calculez 18 × 5 ;
2,5 × 4 ;
8,4 ÷ 4 ;
156 ÷ 12.
Puis rangez 53 pièces par groupes de six :
indiquez le nombre de groupes complets et le reste.
Enfin, expliquez avec une phrase pourquoi 5 ÷ 0 ne peut pas être utilisé.

Voir la correction

Les résultats sont 90 ;
10 ;
2,1 ;
13.
Pour les pièces :
huit groupes complets et cinq pièces restantes, puisque 6 × 8 + 5 = 53.
Diviser cinq par zéro demanderait un nombre dont le produit par zéro vaut cinq, alors que ce produit vaut toujours zéro.

12. À retenir

La multiplication réunit des groupes identiques.
La division répartit un total ou cherche le nombre de groupes.
Expliquez les décimaux avec la taille des parts.
Pour une division entière, contrôlez :
dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste plus petit que le diviseur.
Ne divisez jamais par zéro.

13. Mots à retenir aujourd’hui

Un facteur ;
un produit ;
répartir également ;
un quotient ;
un reste ;
un groupe complet.
Dites en français :
« Je répartis quatre-vingt-quatre joints dans sept sachets », puis « Chaque sachet contient douze joints ».
Prononcez les nombres et expliquez ce que mesure votre résultat.

14. Mini-test

Le test combine calcul, interprétation des groupes, décimaux et reste.
Écrivez d’abord votre raisonnement sur une feuille.
Pour une réponse incorrecte, identifiez si l’erreur vient du sens de l’opération, d’un calcul intermédiaire, de la virgule ou de l’unité.

15. Pour continuer

Terminez le cours après avoir compris les corrections et réussi les questions.
La leçon suivante expliquera les priorités opératoires et les parenthèses pour organiser des calculs contenant plusieurs opérations.
Si vous confondez le partage et le groupement, reprenez le tableau avec des objets avant de passer à la suite.