1. Trois questions différentes sur un même mouvement

Un objet peut se déplacer beaucoup et revenir près de son point de départ.
Pour décrire ce mouvement, trois questions doivent rester distinctes :
où se trouve-t-il, quelle longueur de trajet a-t-il parcourue et quel changement de position a-t-il réalisé ?
La position répond à la première question, la distance parcourue à la deuxième et le déplacement à la troisième.
Ces notions utilisent des unités de longueur, mais elles ne donnent pas la même information.
Nous allons apprendre à les reconnaître avant d’étudier la vitesse dans la prochaine leçon.

Notre exemple principal est un point représentant un petit chariot fictif.
Sur un axe, il part du repère 1 m, atteint le repère 7 m, puis revient au repère 3 m.
Le dessin et les calculs permettront de suivre chaque étape.
Nous ne nous occupons pas encore du temps, des forces ou de la commande d’un équipement.
Les exemples servent à comprendre une description géométrique du mouvement.
Reprenez les nombres signés, les coordonnées et la valeur absolue si vous avez besoin de revoir ces outils.

2. Choisir le référentiel et l’objet étudié

Un mouvement se décrit par rapport à un référentiel.
Dans nos premiers exemples, nous choisissons le sol du local comme référence et nous le considérons immobile pendant l’étude.
Un passager assis peut rester au même endroit par rapport au véhicule et changer de position par rapport au sol.
Il faut donc annoncer la référence utilisée.
Dire simplement « l’objet bouge »
ne précise pas par rapport à quoi on l’observe.
Un résultat doit conserver cette information pour être compris et comparé à un autre résultat.

Un chariot réel possède une largeur et plusieurs points.
Pour débuter, nous le représentons par un point choisi, par exemple le centre d’un repère peint.
Toutes les positions du problème concernent ce même point.
Cette simplification convient à notre exercice, mais elle ne décrit pas la rotation ou les dimensions complètes de l’objet.
Ne mesurez pas le bord avant au départ et le bord arrière à l’arrivée sans le préciser :
vous auriez changé le point étudié.
Une définition stable précède le calcul.

3. Construire un axe avec origine, sens et unité

Sur une droite, un repère comporte une origine, un sens positif et une échelle.
Nous plaçons l’origine au point O et choisissons le sens positif vers la droite.
Une position est alors décrite par une coordonnée x, en mètres.
Le repère 0 m est l’origine ;
+3 m se trouve à trois mètres à droite ;
−3 m se trouve à trois mètres à gauche.
Le signe indique le côté de l’origine dans ce repère.
Une position négative n’est ni une distance négative ni une valeur impossible.

Le choix de l’origine est libre, mais il doit rester cohérent dans tous les calculs.
Un point à 3 m d’une ancienne origine peut recevoir la coordonnée 1 m si la nouvelle origine est placée 2 m plus à droite.
Le point physique n’a pas changé ;
sa description a changé.
Vous retrouverez cette idée dans les coordonnées de l’unité précédente.
Avant de lire un dessin, vérifiez toujours où se trouve le zéro, dans quel sens les coordonnées augmentent et quelle unité est indiquée.

4. La position décrit un état, pas un trajet

Dans notre exemple, la position initiale est x₁ = 1 m et la position finale est x₂ = 3 m.
La valeur finale ne dit pas que le chariot a parcouru 3 m.
Elle dit seulement où il se trouve à la fin par rapport à l’origine choisie.
Le tableau donne aussi la position intermédiaire 7 m.
Ces trois positions permettent de reconstruire le trajet annoncé parce que l’énoncé précise qu’il se fait sur une droite, directement entre les repères successifs, sans détour supplémentaire.

Si l’on connaît seulement le départ et l’arrivée, on ne connaît généralement pas tout le trajet.
Entre deux positions, l’objet peut avancer directement, faire un détour ou revenir plusieurs fois.
Une photographie finale ne conserve pas l’histoire complète du mouvement.
Dans le carnet, séparez donc les positions observées et les informations sur le parcours.
Si des étapes manquent, n’inventez pas automatiquement le trajet le plus court.
Vous pourrez parfois calculer le déplacement sans pouvoir calculer la distance parcourue.

5. Calculer un déplacement signé sur une droite

Dans un mouvement sur une droite, la composante signée du déplacement est la position finale moins la position initiale.
Pour notre trajet complet, elle vaut x₂ − x₁ = 3 − 1 = +2 m.
Le signe positif indique un changement net vers la droite dans notre repère.
Nous dirons ici « déplacement signé »
pour cette composante.
Le déplacement ne reprend pas toutes les étapes :
il compare seulement le départ et l’arrivée.
L’ordre de la soustraction est indispensable ;
initial moins final donnerait le sens opposé.

Le déplacement est représenté par une flèche du point de départ vers le point d’arrivée.
Sur la droite, sa longueur vaut la valeur absolue de la composante :
pour +2 m, elle vaut 2 m.
La composante et sa valeur absolue répondent à deux questions différentes.
La première conserve le sens ;
la seconde donne seulement une longueur.
On peut écrire en mots :
le point final est situé deux mètres à droite du point initial.
Cette phrase permet de contrôler le signe sans se limiter à une opération.

6. Additionner les longueurs de chaque étape

La distance parcourue est la longueur totale du trajet.
De 1 à 7 m, le premier tronçon mesure 7 − 1 = 6 m.
De 7 à 3 m, le second mesure 7 − 3 = 4 m.
La distance totale vaut donc 6 + 4 = 10 m.
Les deux longueurs s’ajoutent même si le chariot change de sens.
La distance parcourue reste positive ou nulle :
revenir en arrière ne retire pas du trajet déjà parcouru.

Une méthode générale sur une droite consiste à prendre la valeur absolue de chaque différence entre positions successives, puis additionner ces longueurs.
La valeur absolue de 3 − 7 est 4, alors que la différence signée est −4.
Pour le déplacement complet, les composantes des étapes s’additionnent :
+6 + (−4) = +2 m.
Pour la distance, ce sont leurs valeurs absolues qui s’additionnent :
6 + 4 = 10 m.
Ne changez pas de méthode au milieu du calcul sans changer la question posée.

7. Lire le dessin du trajet sans mélanger les flèches

La figure utilise deux flèches bleues à des hauteurs différentes pour rendre visibles l’aller et le retour.
Elles représentent un mouvement sur la même droite, pas un détour vertical.
La flèche orange relie le départ A à l’arrivée C :
elle représente le déplacement net.
Les lettres identifient les points, les nombres donnent les coordonnées.
Les longueurs 6 m et 4 m appartiennent aux étapes ;
+2 m appartient au bilan du déplacement.
Les couleurs servent à distinguer les informations dans ce dessin.

Avant de calculer, racontez le trajet avec vos mots :
départ à 1 m, progression vers 7 m, retour jusqu’à 3 m.
Puis indiquez les deux positions que la flèche orange compare.
Vous pouvez vérifier la conclusion en regardant que C reste à droite de A.
Si votre résultat signé est négatif alors que le dessin indique ce sens, contrôlez l’ordre de soustraction.
Un dessin correct et une phrase claire sont deux moyens de vérifier un calcul ;
ils ne dispensent pas de lire les hypothèses de l’énoncé.

8. Un retour au départ donne un déplacement nul

Supposons maintenant un départ à 0 m, une arrivée intermédiaire à 6 m, puis un retour direct à 0 m.
La distance parcourue vaut 6 + 6 = 12 m.
Le déplacement signé vaut 0 − 0 = 0 m.
Un déplacement nul ne signifie donc pas forcément une absence de mouvement.
Il peut indiquer que la position finale coïncide avec la position initiale après un trajet.
C’est une distinction importante pour comprendre un aller-retour ou un cycle de mouvement.

Si le point reste immobile pendant toute l’étude, sa distance parcourue est nulle et son déplacement est nul.
Cette situation et l’aller-retour ont le même déplacement final, mais pas la même distance.
Pour les distinguer, il faut une information sur ce qui s’est passé entre le début et la fin.
La valeur finale seule ne répond pas à toutes les questions.
Dans un tableau de résultats, écrivez le nom de la grandeur à côté de chaque nombre pour ne pas transformer ce bilan en ambiguïté.

9. Comprendre les positions négatives et le sens négatif

Un point passe directement de 4 m à −1 m.
Son déplacement signé vaut −1 − 4 = −5 m.
La longueur du trajet direct est 5 m.
La flèche va vers la gauche, le sens négatif de notre axe.
On peut vérifier en comptant quatre mètres pour revenir à l’origine puis un mètre au-delà.
Le signe négatif du déplacement est lié au sens du changement de position ;
il ne donne pas une longueur négative.
La position finale et le déplacement sont ici tous deux négatifs, mais pour des raisons distinctes.

Prenez maintenant un départ à −4 m et une arrivée à −1 m.
Le déplacement signé vaut −1 − (−4) = +3 m.
Le point reste à gauche de l’origine, mais il s’est déplacé vers la droite.
Être du côté négatif et se déplacer dans le sens négatif sont donc deux idées différentes.
Les parenthèses protègent le signe de la valeur initiale dans la soustraction.
Faites un petit axe et placez les points avant de conclure si le calcul avec deux signes vous paraît encore difficile.

10. Changer d’origine ou inverser le sens de l’axe

Si l’on déplace l’origine 2 m vers la droite sans changer le sens positif, les anciennes positions 1, 7 et 3 m deviennent −1, 5 et 1 m.
Le déplacement total vaut alors 1 − (−1) = +2 m, comme auparavant.
Les positions dépendent de l’origine, mais leur différence reste ici la même.
Les longueurs des étapes restent 6 m et 4 m.
Nous parlons d’un changement d’origine fixe, pas d’un changement vers un référentiel en mouvement.

Si l’on garde la même origine mais choisit le sens positif vers la gauche, les coordonnées changent de signe.
Les positions de départ et d’arrivée deviennent −1 m et −3 m ;
le déplacement signé devient −3 − (−1) = −2 m.
Le mouvement physique n’a pas changé :
le signe traduit une nouvelle convention.
La longueur du déplacement reste 2 m et la distance parcourue reste 10 m.
Annoncez le repère avant de comparer deux résultats signés provenant de descriptions différentes.

11. Dans le plan, le déplacement garde une direction

Dans un plan, une seule coordonnée ne suffit plus ;
nous utilisons deux axes perpendiculaires et la même unité sur les deux.
Le point part de A(0 ; 0), rejoint B(4 ; 0), puis C(4 ; 3), avec les coordonnées en mètres.
Les segments du trajet mesurent 4 m et 3 m, donc la distance parcourue vaut 7 m.
Le déplacement relie directement A à C.
Ses composantes sont 4 m horizontalement et 3 m verticalement.
Il faut conserver les deux composantes pour décrire ce changement de position.

La longueur du déplacement est celle de la diagonale du triangle rectangle.
Le théorème de Pythagore donne son carré :
4² + 3² = 16 + 9 = 25.
La longueur vaut donc 5 m, car 5² = 25.
Les 7 m du trajet ne remplacent pas les 5 m de la diagonale.
Inversement, dire seulement « déplacement de 5 m »
sans préciser sa direction ne décrit pas tout le déplacement dans le plan.
Notre dessin utilise une échelle identique sur les deux axes pour garder la géométrie lisible.

12. Distance entre deux points et distance parcourue

La distance entre le départ et l’arrivée correspond à leur séparation directe :
2 m dans notre exemple sur la droite et 5 m dans notre exemple dans le plan.
La distance parcourue tient compte du chemin :
respectivement 10 m et 7 m.
Dans une situation ordinaire décrite dans un même repère fixe, la longueur du trajet ne peut pas être inférieure à la séparation directe.
Ces deux longueurs peuvent être égales pour un trajet direct sans retour ou détour, mais cette égalité doit être justifiée par le parcours.

Lorsqu’un exercice dit seulement « distance », cherchez ce qu’il demande :
séparation entre deux points ou longueur parcourue ?
Reformulez la question au lieu de supposer que les mots sont interchangeables.
Si seules les positions initiale et finale sont données, vous pouvez obtenir le déplacement et la séparation, mais pas nécessairement la longueur du trajet.
Le contrôle distance parcourue supérieure ou égale à longueur du déplacement est utile lorsque le trajet est connu.
Il ne reconstruit pas à lui seul les étapes manquantes.

13. Unités, informations manquantes et contrôle du résultat

Convertissez les coordonnées dans une unité commune avant de soustraire.
Une position initiale 50 cm et une position finale 3 m deviennent 0,5 m et 3 m.
Le déplacement signé vaut 3 − 0,5 = +2,5 m.
Pour un trajet direct sur une droite, la distance parcourue est 2,5 m ;
sans cette hypothèse, elle pourrait être plus grande.
Soustraire directement 3 et 50 mélangerait deux échelles.
Le signe ne corrige pas une erreur d’unité, et une unité correcte ne garantit pas un signe correct.

Une liste de positions indique un ordre de passage seulement si l’énoncé le précise.
Elle ne fournit pas automatiquement les durées ni les détours entre les points.
Le calcul de vitesse demandera une durée, que nous étudierons ensuite.
Pour ce cours, contrôlez le référentiel, le point étudié, l’origine, le sens positif, l’unité et la description des étapes.
Vérifiez ensuite que la distance reste positive ou nulle et que la flèche du déplacement rejoint bien l’arrivée depuis le départ.
Expliquez les limites de ce que les données permettent de calculer.

14. Entraînement guidé et corrections

Cachez les réponses.
A :
sur un axe positif vers la droite, un point suit directement les repères 2, 8 puis 5 m ;
calculez les longueurs des étapes, la distance totale et le déplacement signé.
B :
un point va directement de −2 à 3 m ;
donnez déplacement et distance.
C :
il part de 1 m, atteint 4 m et revient directement à 1 m ;
comparez les deux bilans.
D :
dans un plan, le trajet suit A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(6 ; 8), coordonnées en mètres ;
calculez la distance et la longueur du déplacement.

Correction A :
première longueur 8 − 2 = 6 m, seconde 8 − 5 = 3 m, distance 9 m ;
déplacement 5 − 2 = +3 m.
B :
déplacement 3 − (−2) = +5 m et distance directe 5 m.
C :
distance 3 + 3 = 6 m, déplacement 1 − 1 = 0 m.
D :
trajet 6 + 8 = 14 m ;
diagonale 10 m car 6² + 8² = 100 et 10² = 100.
Accompagnez chaque nombre du nom de la grandeur et de l’unité, puis dessinez la flèche du déplacement.

15. Synthèse et travail dans le carnet

La position indique où se trouve le point dans un repère annoncé.
La distance parcourue additionne les longueurs des étapes ;
elle dépend du trajet.
Le déplacement compare le départ et l’arrivée et conserve une direction ;
sur une droite, sa composante signée vaut final moins initial.
La longueur du déplacement reste distincte de cette composante.
Un retour au départ peut donner un déplacement nul après une distance non nulle.
Définir la question avant le calcul évite de confondre des résultats qui utilisent la même unité.

Dans le carnet, inventez trois parcours sur une droite :
un aller direct, un aller avec retour partiel et un retour complet au départ.
Notez l’origine, le sens positif, les coordonnées successives et les hypothèses de trajet direct entre ces coordonnées.
Pour chacun, calculez distance et déplacement signé, puis expliquez leur différence en une phrase.
Changez ensuite l’origine sans changer le sens et vérifiez le bilan.
Terminez par un exemple où le départ et l’arrivée sont connus mais le trajet manque :
indiquez ce qui reste calculable.

Pour revoir les définitions : OpenStax, College Physics 2e, section 2.1 : déplacement. Les parcours, dessins et questions de ce cours sont des exemples originaux.