1. Un problème devient une suite de questions

Une situation technique peut demander plusieurs calculs avant d’obtenir la réponse finale.
Le premier résultat devient alors une donnée pour le suivant.
Commencer immédiatement par une opération au hasard rend les erreurs difficiles à repérer.
Nous allons apprendre à transformer une question globale en une suite de questions simples :
quelles données sont utiles, quelles unités faut-il harmoniser, quel résultat intermédiaire est nécessaire et comment contrôler la conclusion ?
Ce cours rassemble les outils de l’unité sans ajouter une formule compliquée.

Nos situations sont fictives et leurs hypothèses sont explicites.
Elles servent à organiser un raisonnement, pas à piloter un équipement réel.
Nous étudierons le remplissage idéal d’un réservoir, un bilan de production et une comparaison de dimensions à une zone admise.
Dans chaque cas, nous séparerons le résultat calculé, son interprétation et les limites du modèle.
Une réponse utile est une phrase justifiée par des étapes, avec une unité et une condition de validité.

2. Objectifs et outils à réutiliser

Vous devrez extraire les données pertinentes d’un texte, nommer l’inconnue, construire un plan de calcul et conserver les résultats intermédiaires avec leurs unités.
Vous saurez distinguer un temps total d’un temps actif, une quantité initiale d’une quantité ajoutée, une production totale d’une production admise et une moyenne d’une décision sur chaque valeur.
Les prérequis sont les opérations sur les décimaux, les conversions, les pourcentages, les tableaux, les relations affines et les intervalles.
Les problèmes demandent une combinaison de ces notions, pas une récitation de tout le programme.

Un plan peut tenir en quatre lignes :
identifier, convertir, calculer, vérifier.
Identifier signifie écrire ce qui est demandé et ce qui est connu.
Convertir signifie rendre compatibles les unités nécessaires, sans transformer des grandeurs différentes en la même chose.
Calculer signifie suivre les dépendances entre résultats.
Vérifier signifie reprendre les contraintes, l’ordre de grandeur et éventuellement un calcul inverse.
Ces étapes servent de guide ;
vous pouvez revenir en arrière si un contrôle révèle une donnée manquante ou une hypothèse incohérente.

3. Lire les données sans les mélanger

Premier problème :
un réservoir de capacité 60 L contient initialement 6 L.
Un apport idéal constant fournit 2,4 L/min, sans sortie.
On veut atteindre 42 L.
Une préparation de 180 s précède le remplissage ;
elle n’ajoute aucun liquide.
Combien de minutes faut-il depuis le début de la préparation jusqu’à l’atteinte de la cible ?
Les nombres 60, 6, 2,4, 42 et 180 ont des rôles différents :
limite, départ, rythme, cible et durée préalable.
Les additionner directement n’aurait aucun sens.

L’inconnue finale est une durée totale en minutes.
L’inconnue intermédiaire est la durée de remplissage.
Pour la trouver, il faut d’abord connaître le volume ajouté :
cible moins volume initial.
La capacité 60 L sert au contrôle de la cible et du modèle ;
elle n’est pas le volume à ajouter.
La préparation 180 s sert ensuite à la durée totale.
Écrire les rôles des données évite d’employer une valeur simplement parce qu’elle apparaît dans l’énoncé.

4. Harmoniser les unités avant les calculs

Le débit est exprimé en litres par minute, donc une durée de remplissage calculée par volume divisé par débit sera en minutes.
La préparation est donnée en secondes :
180/60 = 3 min.
Le volume initial, la cible et la capacité sont déjà en litres.
Nous avons ainsi une unité commune pour chaque grandeur concernée.
Les litres et les minutes restent des grandeurs différentes ;
on les relie par le débit, on ne les additionne pas.
Une conversion prépare l’opération mais ne choisit pas l’opération à votre place.

On pourrait aussi travailler en secondes en convertissant le débit :
2,4 L/min vaut 2,4/60 = 0,04 L/s.
La durée calculée en secondes serait ensuite divisée par 60 pour la réponse finale.
Les deux chemins doivent donner le même résultat.
Choisissez le chemin le plus lisible et gardez-le jusqu’au contrôle.
Multiplier le débit par 60 au lieu de le diviser pour passer de litres par minute à litres par seconde produirait une erreur importante.
Vérifiez toujours la signification d’une unité composée.

5. Calculer le résultat intermédiaire utile

Le volume nécessaire est 42 − 6 = 36 L.
Pour un apport de 2,4 L chaque minute, la durée de remplissage vaut 36/2,4 = 15 min.
Cette division répond à une question précise :
combien de périodes d’une minute faut-il pour fournir 36 L ?
Le résultat 15 min concerne seulement le remplissage.
Il ne comprend pas la préparation.
Si vous divisiez 42 par 2,4, vous compteriez à nouveau le liquide déjà présent et obtiendriez 17,5 min, un résultat qui ne correspond pas à la question.

Écrivez une courte chaîne de dépendances :
volume à ajouter, puis temps de remplissage, puis temps total.
Chaque flèche signifie que l’étape suivante a besoin du résultat précédent.
Gardez 36 L dans votre note même si le calcul paraît simple ;
il permet de comprendre l’origine de la durée.
Une erreur à cette étape se propagerait aux calculs suivants.
Les résultats intermédiaires ne sont pas des détails inutiles :
ils rendent le raisonnement vérifiable et permettent de corriger une étape sans recommencer tout le problème.

6. Retrouver le même résultat par une équation

Pendant le remplissage, le volume suit V = 2,4 × t + 6, avec t en minutes mesuré depuis le début de l’apport.
Pour atteindre 42 L, écrivez 42 = 2,4 × t + 6.
Soustrayez 6 :
36 = 2,4 × t.
Divisez par 2,4 :
t = 15.
La méthode par équation rejoint la méthode par volume ajouté.
Elle montre explicitement la place de la valeur initiale et du coefficient.
La pente vaut 2,4 L/min et l’ordonnée à l’origine vaut 6 L.

Le tableau et le graphique reprennent cette relation pendant l’apport.
Les couples (0 ; 6), (5 ; 18), (10 ; 30) et (15 ; 42) sont cohérents avec la formule.
Le temps zéro de ce graphique est le début du remplissage, pas le début de la préparation.
Une origine temporelle doit toujours être nommée.
Une lecture graphique permet de contrôler la tendance et les valeurs ;
le calcul exact fournit ici la réponse précise.
N’ajoutez pas une préparation au volume en croyant qu’elle appartient à la formule.

7. Ajouter la préparation et vérifier les contraintes

La durée totale vaut 3 + 15 = 18 min.
La phrase finale est :
depuis le début de la préparation, la cible est atteinte après 18 minutes, sous les hypothèses d’apport constant et d’absence de sortie.
Le contrôle inverse donne 6 + 2,4 × 15 = 42 L.
La cible est inférieure à la capacité 60 L, donc elle ne contredit pas la contrainte annoncée.
Une cible supérieure à 60 L serait incompatible avec le problème tel qu’il est défini.

Le domaine de la formule de remplissage est limité par la capacité :
le temps pour atteindre 60 L vaut (60 − 6)/2,4 = 22,5 min.
Notre temps de remplissage 15 min se situe dans ce domaine.
La préparation s’ajoute seulement à la durée depuis le début de l’organisation.
Une durée totale de 18 min n’est pas une abscisse de 18 min sur le graphique du remplissage.
Distinguer ces deux origines évite une erreur de lecture fréquente dans les problèmes à plusieurs phases.

8. Deuxième problème : temps planifié et temps actif

Une activité fictive dispose de 40 min au total.
Un arrêt de 5 min empêche toute production.
Pendant le temps actif seulement, le rythme idéal est de 4 pièces par minute.
Parmi les pièces produites, 8 sont non admises.
On cherche d’abord la production totale, puis la quantité admise et enfin la proportion de pièces non admises.
Les données décrivent une chronologie et un bilan :
l’arrêt réduit le temps actif, tandis que les 8 pièces réduisent la quantité admise, pas le temps actif.

Le temps actif vaut 40 − 5 = 35 min.
La production totale vaut 35 × 4 = 140 pièces.
Utiliser 40 × 4 = 160 pièces ignorerait l’arrêt.
Le modèle suppose un rythme constant pendant toute la phase active et aucune production pendant l’arrêt.
Si ces hypothèses changent, le calcul doit être adapté.
Ne confondez pas une quantité calculée dans ce modèle et un comptage réellement observé.
Un bilan commence par annoncer ce que chaque nombre représente.

9. Passer du total à la quantité admise

La quantité admise vaut 140 − 8 = 132 pièces.
Le contrôle est 132 + 8 = 140 :
la somme des deux catégories reconstitue le total.
Le diagramme représente cette décomposition avec une longueur de 132 pour la catégorie admise et une longueur de 8 pour l’autre.
Les deux catégories sont ici exhaustives et distinctes.
Si une troisième catégorie existait, comme des pièces en attente de contrôle, elle devrait apparaître dans le bilan au lieu d’être silencieusement rangée parmi les pièces admises.

Les mots total, admis et non admis doivent rester présents dans vos calculs.
Le taux de production totale pendant le temps actif est 4 pièces/min ;
le nombre de pièces admises par minute sur toute la période vaut 132/40 = 3,3 pièces/min.
Ce dernier quotient répond à une autre question et utilise un autre dénominateur.
Il ne remplace pas le rythme idéal de la phase active.
Deux résultats différents peuvent être corrects lorsqu’ils portent sur des quantités et des périodes différentes.

10. Calculer un pourcentage avec la bonne référence

La proportion de pièces non admises parmi toutes les pièces produites est 8/140 × 100, soit environ 5,71 %.
La proportion admise vaut 132/140 × 100, soit environ 94,29 %.
Avant arrondi, ces deux proportions totalisent 100 %.
Le dénominateur est 140 parce que la question dit « parmi toutes les pièces produites ».
Diviser 8 par 132 donnerait un rapport aux pièces admises, qui n’est pas le pourcentage demandé.
N’utilisez pas un dénominateur simplement parce qu’il est le dernier résultat obtenu.

Conservez la fraction exacte 8/140 ou le résultat non arrondi dans les calculs suivants, puis arrondissez seulement la présentation finale lorsque c’est approprié.
Un arrondi intermédiaire peut modifier une décision si une limite est très proche.
Si une consigne donne seulement un pourcentage estimé de non-admission, elle ne garantit pas un nombre entier exact de pièces rejetées dans chaque lot.
Dans notre exemple, le nombre 8 est une donnée exacte ;
le pourcentage est calculé à partir de ce comptage.

11. Troisième problème : examiner chaque dimension

Une exigence fictive impose une dimension nominale de 50 mm avec un écart permis de 0,20 mm de chaque côté, bornes incluses.
Les limites sont 49,80 mm et 50,20 mm.
Quatre valeurs données sont 49,85 ;
50,12 ;
50,24 ;
50,20 mm.
Selon notre règle simplifiée de comparaison des valeurs, les première, deuxième et quatrième sont admises.
La troisième dépasse la limite supérieure de 50,24 − 50,20 = 0,04 mm.
On compte donc trois valeurs admises sur quatre.

Le tableau donne aussi les écarts signés par rapport à 50 mm :
−0,15 ;
+0,12 ;
+0,24 ;
+0,20 mm.
Dans cette tolérance symétrique fermée, la valeur absolue de l’écart doit être inférieure ou égale à 0,20 mm.
Cette méthode rejoint les deux comparaisons aux bornes.
La valeur à la limite haute est admise parce que la borne est incluse.
Une règle ouverte changerait cette décision.
Pour une mesure réelle, la prise en compte de l’incertitude exige la règle de décision applicable, comme expliqué dans le cours précédent.

12. Une moyenne ne valide pas chaque valeur

La somme des quatre dimensions vaut 49,85 + 50,12 + 50,24 + 50,20 = 200,41 mm.
La moyenne vaut 200,41/4 = 50,1025 mm, donc elle appartient à [49,80 ; 50,20] mm.
Pourtant la valeur 50,24 mm est hors de cet intervalle.
Une moyenne admissible n’implique donc pas que chaque résultat individuel l’est.
La moyenne répond à une question de synthèse ;
la décision individuelle exige le test de chaque valeur.
Ces deux tâches ne doivent pas être échangées.

Si l’on demande le taux de valeurs admises dans ces quatre données, il vaut 3/4 × 100 = 75 %.
Ce nombre décrit cet ensemble limité, pas une garantie sur tous les résultats futurs d’un procédé.
Une conclusion complète peut donner le nombre admis, la valeur exclue, la raison d’exclusion et la règle utilisée.
Un indicateur global résume des données ;
il ne supprime pas les valeurs particulières ni les contraintes.
Cherchez ce que la question veut réellement contrôler avant de choisir moyenne ou pourcentage.

13. Vérifier le sens, les unités et les données manquantes

Un contrôle d’ordre de grandeur peut révéler une erreur :
ajouter 36 L à 2,4 L/min devrait prendre plus de dix minutes et moins de vingt, donc 15 min est plausible.
Produire pendant 35 min à 4 pièces/min donne davantage que 35 pièces mais moins que le total idéal de 160 sans arrêt.
Une quantité admise ne doit pas dépasser le total et une proportion entre deux catégories du total doit rester entre 0 et 100 %.
Ces contrôles n’établissent pas seuls l’exactitude, mais ils signalent des incohérences.

Une donnée manquante doit être annoncée au lieu d’être inventée.
Sans débit, la durée de remplissage n’est pas déterminée par les volumes seuls.
Sans nombre non admis, on ne peut pas calculer la quantité admise.
Sans inclusion des bornes, une décision sur une valeur exactement à la frontière doit rester conditionnelle.
Écrivez alors ce qui peut être calculé et ce qui manque.
Reconnaître une question indéterminée est une partie du raisonnement technique, pas une absence de travail.

14. Entraînement guidé et corrections

Cachez les réponses et écrivez votre plan.
A :
un réservoir contient 4 L, reçoit 3 L/min et doit atteindre 25 L ;
une préparation de 2 min le précède.
Calculez le volume ajouté, le temps de remplissage et le temps total.
B :
une activité de 30 min a 6 min d’arrêt, puis produit à 5 pièces/min pendant le temps actif ;
9 pièces ne sont pas admises.
Calculez total, admis et pourcentage non admis.
C :
pour l’intervalle fermé [9,90 ; 10,10], examinez 9,90 ;
10,00 ;
10,11.

Correction A :
volume ajouté 25 − 4 = 21 L ;
remplissage 21/3 = 7 min ;
total 7 + 2 = 9 min.
B :
temps actif 30 − 6 = 24 min ;
total 24 × 5 = 120 pièces ;
admis 120 − 9 = 111 pièces ;
pourcentage non admis 9/120 × 100 = 7,5 %.
C :
les deux premières valeurs sont admises, la troisième dépasse la limite de 0,01.
Refaites les contrôles inverses et expliquez pourquoi les unités, les références et les bornes interviennent à des étapes différentes.

15. Synthèse et travail dans le carnet

Pour résoudre un problème à plusieurs étapes, nommez l’inconnue finale, classez les données par rôle et repérez les résultats intermédiaires nécessaires.
Harmonisez les unités, utilisez une opération justifiée pour chaque étape et contrôlez les contraintes.
Dans nos exemples, le départ modifie le volume à ajouter, l’arrêt modifie le temps actif, les pièces non admises modifient le bilan et les bornes déterminent les valeurs autorisées.
Les calculs doivent conserver ces distinctions jusqu’à la phrase finale.

Dans votre carnet, reprenez les trois situations et dessinez une chaîne de calcul pour chacune.
Écrivez une réponse courte avec unité, puis un contrôle indépendant.
Modifiez une donnée à la fois et observez les étapes qui changent :
volume initial, arrêt ou limite supérieure.
Enfin, inventez une question où une donnée manque et dites précisément laquelle.
Les huit cours principaux de cette unité forment maintenant une base de travail ;
les activités séparées de révision et de bilan permettront de reprendre ces outils dans des exercices supplémentaires.