1. Une valeur attendue et une zone permise

Une consigne ne demande pas toujours une valeur unique exactement atteinte.
Elle peut autoriser une zone de valeurs autour d’une référence.
Une longueur nominale de 50 mm avec un écart permis de 0,20 mm dans chaque sens conduit à des limites de 49,80 mm et 50,20 mm.
Comprendre cette zone permet de comparer un résultat à une exigence sans confondre la référence et les limites.
Nous commencerons par des nombres et des domaines simples avant de parler de mesures et de décisions.

Tous les exemples de ce cours sont fictifs.
Ils servent à apprendre les calculs, les signes et le raisonnement ;
ils ne fixent pas les limites d’une machine réelle.
Nous préciserons toujours si les bornes sont incluses, quelles unités sont utilisées et quelle règle simplifiée permet de répondre.
Une valeur peut être proche de la référence sans appartenir à la zone autorisée, ou appartenir à cette zone sans être exactement égale à la référence.
Le mot « proche »
ne remplace pas une comparaison explicite.

2. Objectifs et vocabulaire

Vous devrez calculer deux limites à partir d’une valeur nominale et d’écarts autorisés, lire un intervalle fermé ou ouvert, comparer une valeur aux deux bornes et calculer la largeur d’une zone.
Vous saurez convertir les unités avant la comparaison et distinguer tolérance, écart observé et incertitude de mesure.
Les prérequis sont les nombres décimaux, les signes, les inégalités simples, les conversions et les pourcentages.
Le raisonnement doit conserver les unités à chaque étape, surtout près d’une limite.

La valeur nominale est la référence annoncée dans notre exemple.
La limite inférieure est la plus petite valeur autorisée lorsque cette borne est incluse ;
la limite supérieure est la plus grande.
L’intervalle rassemble toutes les valeurs entre les bornes selon les règles d’inclusion.
Dans ce cours, la largeur de tolérance désigne la différence entre limite supérieure et limite inférieure.
L’écart observé désigne la différence entre une valeur et la référence.
Ces deux différences n’ont pas la même fonction.

3. Calculer des limites symétriques

La notation 50 ± 0,20 mm signifie ici une valeur nominale de 50 mm avec un écart permis de 0,20 mm vers le bas et de 0,20 mm vers le haut.
La limite inférieure vaut 50 − 0,20 = 49,80 mm.
La limite supérieure vaut 50 + 0,20 = 50,20 mm.
Le symbole ± demande deux calculs ;
il ne demande pas d’ajouter puis de soustraire successivement sur la même valeur.
Les deux opérations partent de la même référence nominale.

Pour cet exercice, les deux limites sont incluses.
Toute valeur x satisfaisant 49,80 ≤ x ≤ 50,20, avec x en mm, appartient donc à l’intervalle.
Les valeurs 49,80 et 50,20 sont admises par cette règle simplifiée.
Les valeurs 49,79 et 50,21 ne le sont pas.
Une écriture décimale plus courte ne change pas le nombre :
49,8 et 49,80 représentent la même valeur.
Les zéros écrits après la virgule ne constituent pas un déplacement de la limite.

4. Lire un intervalle et ses crochets

L’écriture [49,80 ; 50,20] signifie que les deux bornes sont incluses.
Elle décrit tous les nombres compris entre elles, pas seulement les deux nombres écrits.
La notation ]49,80 ; 50,20[ exclut les deux bornes :
x doit être strictement supérieur à 49,80 et strictement inférieur à 50,20.
Les écritures [49,80 ; 50,20[ et ]49,80 ; 50,20] incluent une seule borne.
Le sens des crochets doit donc être lu avant de décider si une valeur exactement sur la frontière est admise.

Dans la convention française utilisée ici, un crochet tourné vers l’intérieur de l’intervalle ferme la borne ;
un crochet tourné vers l’extérieur l’ouvre.
Le point-virgule sépare les bornes et les virgules appartiennent aux nombres décimaux.
Un intervalle [2 ; 5] n’est pas le couple de coordonnées (2 ; 5) étudié précédemment :
il représente une zone sur une droite graduée.
Vous pouvez aussi employer des inégalités pour vérifier votre lecture.
Écrire la condition avec les signes est souvent le meilleur contrôle des crochets.

5. Comparer une valeur aux deux limites

Pour tester x = 50,12 mm dans [49,80 ; 50,20] mm, posez deux questions :
50,12 est-il supérieur ou égal à 49,80 ?
Est-il inférieur ou égal à 50,20 ?
Les deux réponses sont oui, donc la valeur est admissible selon notre règle.
Pour x = 50,21 mm, la première condition est vraie mais la seconde est fausse.
Il faut satisfaire les deux conditions simultanément.
Comparer uniquement à la limite inférieure laisserait passer des valeurs trop grandes.

Pour x = 49,79 mm, c’est la première condition qui échoue.
Pour x = 50,20 mm, les deux conditions sont satisfaites dans l’intervalle fermé.
Si la borne supérieure était exclue, cette même valeur ne serait plus admise.
La décision dépend donc à la fois du nombre et de la règle d’inclusion.
Conservez la valeur utilisée, les limites et la conclusion dans votre réponse.
Une phrase comme « trop grand de 0,01 mm »
explique davantage qu’un simple mot « non ».

6. Écart signé, écart absolu et marge

L’écart signé par rapport à la référence vaut valeur observée − valeur nominale.
Pour 50,12 mm, il vaut 50,12 − 50 = +0,12 mm.
Pour 49,85 mm, il vaut 49,85 − 50 = −0,15 mm.
Le signe indique de quel côté de la référence se trouve la valeur.
L’écart absolu conserve seulement la distance à la référence :
0,12 mm ou 0,15 mm.
Dans une tolérance symétrique fermée ±0,20 mm, cette distance doit être inférieure ou égale à 0,20 mm.

La marge à la limite supérieure pour 50,12 mm vaut 50,20 − 50,12 = 0,08 mm.
La marge à la limite inférieure vaut 50,12 − 49,80 = 0,32 mm.
La plus petite des deux est la distance à la frontière la plus proche.
Elle ne représente pas automatiquement une garantie de conformité lorsque la mesure comporte une incertitude.
Pour une valeur hors intervalle, annoncez plutôt la limite dépassée et l’écart de dépassement ;
ne présentez pas une marge négative comme une réserve disponible.

7. Largeur totale et demi-largeur

La largeur totale de [49,80 ; 50,20] vaut 50,20 − 49,80 = 0,40 mm.
L’écart autorisé de chaque côté est 0,20 mm ;
il est égal à la demi-largeur dans cet exemple symétrique.
Dire que la largeur totale vaut 0,20 mm serait une confusion.
Pour un intervalle symétrique autour d’une référence, la largeur vaut deux fois l’écart permis de chaque côté.
Dessinez les deux côtés avant de choisir quel nombre répond à la question.

Une largeur dépend de la différence des bornes, pas de leur valeur moyenne.
Les intervalles [49,80 ; 50,20] et [10 ; 10,40] ont la même largeur de 0,40 malgré des centres différents.
Un intervalle très étroit exige une lecture numérique soigneuse, mais sa largeur ne vous renseigne pas à elle seule sur la qualité d’un instrument ou d’un procédé.
Ne confondez pas largeur de spécification, dispersion des résultats et incertitude de mesure.
Chacune décrit une information différente.

8. Tolérance asymétrique : deux écarts différents

Supposons une valeur nominale de 20 mm, un écart inférieur autorisé de −0,10 mm et un écart supérieur autorisé de +0,30 mm.
La limite inférieure vaut 20 + (−0,10) = 19,90 mm et la limite supérieure vaut 20 + 0,30 = 20,30 mm.
L’intervalle fermé est [19,90 ; 20,30] mm, de largeur 0,40 mm.
La référence 20 mm n’est pas le milieu de cette zone ;
le milieu vaut (19,90 + 20,30)/2 = 20,10 mm.

Une valeur de 20,25 mm appartient à cette zone, alors qu’une valeur de 19,75 mm n’y appartient pas.
Pourtant leurs écarts absolus à la référence valent tous deux 0,25 mm.
Ce contre-exemple montre pourquoi un seul test de distance à la référence ne suffit pas pour une tolérance asymétrique.
Utilisez les deux limites ou comparez l’écart signé aux deux écarts permis.
Dans notre cas, la condition est −0,10 ≤ écart ≤ +0,30.
N’inventez pas un symbole ± lorsque les deux côtés n’ont pas la même amplitude.

9. Toutes les comparaisons dans la même unité

L’intervalle [49,80 ; 50,20] mm peut aussi s’écrire [4,980 ; 5,020] cm, car 1 cm vaut 10 mm.
La valeur 5,012 cm correspond à 50,12 mm et reste admissible selon notre règle.
Comparer directement 5,012 à 49,80 mélangerait les unités et produirait une conclusion fausse.
Convertissez la valeur et les bornes dans une unité commune avant d’appliquer les inégalités.
La référence et les écarts autorisés doivent être convertis ensemble lorsque vous reconstruisez les limites.

Les préfixes peuvent cacher un facteur important :
0,20 mm vaut 200 µm, et non 20 µm.
Une erreur d’un facteur dix peut transformer une zone admise en une zone beaucoup trop large ou trop étroite.
Écrivez le facteur de conversion, puis contrôlez l’ordre de grandeur.
Un changement d’unité ne change pas la zone physique, seulement ses nombres.
La largeur 0,40 mm devient 0,040 cm ;
elle ne doit pas rester numériquement égale à 0,40 si les unités changent.

10. Écarts relatifs exprimés en pourcentage

Une consigne fictive peut annoncer une valeur nominale de 100 Ω avec un écart autorisé de 5 % dans chaque sens.
L’écart vaut 100 × 5/100 = 5 Ω.
Les limites incluses sont donc 95 Ω et 105 Ω.
Une valeur de 103 Ω est dans la zone ;
106 Ω est au-dessus.
Le pourcentage s’applique ici à la valeur nominale explicitement choisie comme référence.
Il ne s’applique pas successivement à la limite basse puis à la limite haute.

Pour une référence de 200 Ω avec le même pourcentage de 5 %, l’écart permis devient 10 Ω et les limites deviennent 190 Ω et 210 Ω.
Le même pourcentage ne donne donc pas la même largeur absolue pour toutes les références.
À l’inverse, un écart fixé en ohms ne donne pas le même pourcentage pour toutes les valeurs nominales.
Vérifiez si l’exigence est absolue, relative ou composée avant de calculer.
Les exemples restent des exercices numériques et ne remplacent pas une spécification de composant.

11. Plusieurs conditions à satisfaire simultanément

Une valeur peut devoir appartenir à deux intervalles à la fois.
Si une première condition impose [10 ; 15] et une seconde [12 ; 18], les valeurs communes forment [12 ; 15].
La limite inférieure commune est la plus grande des limites basses, et la limite supérieure commune est la plus petite des limites hautes.
La valeur 14 satisfait les deux conditions ;
11 ne satisfait que la première.
Le mot « et »
demande la zone commune, pas l’ensemble le plus large.

Les intervalles [10 ; 11] et [12 ; 13] n’ont aucune valeur commune.
Il ne faut pas inventer une valeur intermédiaire qui satisferait les deux.
Si une borne commune est exclue par une des conditions, elle reste exclue de la zone commune.
Pour plusieurs grandeurs différentes, contrôlez chaque grandeur séparément :
une longueur admise ne prouve pas que toutes les autres caractéristiques d’une pièce sont conformes.
Une conclusion doit rester limitée à l’exigence réellement vérifiée.

12. Arrondir sans masquer un dépassement

Une valeur de 50,204 mm est supérieure à la limite 50,200 mm.
L’arrondir à deux décimales donnerait 50,20 mm et pourrait masquer ce dépassement.
Dans nos exercices, comparez la valeur fournie avant de l’arrondir, sauf si une règle d’arrondi est explicitement imposée.
La présentation courte d’un résultat et la valeur utilisée pour la décision doivent être distinguées.
Ne créez pas une conformité en supprimant des chiffres qui changent le résultat de la comparaison.

Le nombre de décimales affichées ne décrit pas à lui seul l’incertitude de mesure.
Un affichage au centième n’est pas une garantie que le résultat est connu à 0,01 mm près.
De même, ajouter des zéros dans une réponse ne rend pas une mesure plus certaine.
Pour un exercice exact, les nombres donnés suffisent au calcul demandé.
Pour une mesure réelle, la méthode, l’instrument, les conditions et l’incertitude doivent être considérés avec la règle de décision applicable.

13. Tolérance et incertitude : deux informations différentes

La tolérance vient d’une exigence sur la grandeur ;
l’incertitude décrit les connaissances disponibles à partir de la mesure.
Une incertitude n’élargit pas automatiquement les limites de spécification.
Dans ce cours, la règle simplifiée compare la valeur donnée à l’intervalle fermé, sans traiter les risques liés à la mesure.
Une évaluation réelle de conformité doit préciser comment l’incertitude est prise en compte.
La règle de décision peut conduire à des limites d’acceptation différentes des limites de tolérance.

Illustrons seulement le problème :
une valeur mesurée de 50,19 mm est dans [49,80 ; 50,20] mm, mais une zone d’incertitude annoncée de 50,16 à 50,22 mm traverse la limite supérieure.
Ce constat ne suffit pas à inventer une décision universelle d’acceptation ou de rejet.
Il faut la règle convenue et les informations associées à l’incertitude.
Une valeur mesurée à l’intérieur, une zone entièrement à l’intérieur et une conclusion de conformité sont donc des affirmations distinctes.
Gardez cette différence même lorsque le calcul des bornes est simple.

14. Entraînement guidé et corrections

Cachez les réponses puis calculez avec les unités.
A :
trouvez les limites et la largeur de 30 ± 0,15 mm, bornes incluses.
B :
testez 29,85 mm puis 30,16 mm.
C :
calculez l’écart signé de 29,90 mm par rapport à 30 mm.
D :
trouvez les limites pour 200 Ω avec un écart de 5 % dans chaque sens.
E :
trouvez la zone commune à [2 ; 7] et [5 ; 9].
F :
expliquez pourquoi 50,204 mm ne doit pas être arrondi avant comparaison à 50,200 mm dans notre règle.

Correction A :
limite basse 29,85 mm, limite haute 30,15 mm, largeur 0,30 mm.
B :
29,85 mm est admis car la borne basse est incluse ;
30,16 mm dépasse la borne haute de 0,01 mm.
C :
29,90 − 30 = −0,10 mm.
D :
écart 10 Ω, limites 190 Ω et 210 Ω.
E :
[5 ; 7].
F :
l’arrondi à deux décimales masquerait le dépassement de 0,004 mm.
Refaites les calculs, puis indiquez quelle règle d’inclusion a été utilisée dans chaque décision.

15. Synthèse et travail dans le carnet

Pour examiner une valeur admissible, identifiez la référence, les écarts autorisés, les unités et l’inclusion des bornes.
Calculez les limites et comparez aux deux côtés.
La largeur totale est limite haute − limite basse ;
l’écart signé est valeur − référence.
Une tolérance asymétrique exige deux comparaisons distinctes.
Un pourcentage demande une référence précise et une conversion en écart absolu.
N’arrondissez pas de manière à changer la décision et ne confondez pas spécification et incertitude.

Dans votre carnet, dessinez les intervalles fermé et ouvert du premier exemple, puis placez cinq valeurs dont une sur chaque frontière.
Reconstituez les limites de la tolérance asymétrique et expliquez pourquoi la référence n’est pas son centre.
Refaites les conversions en centimètres et le calcul en pourcentage.
Enfin, écrivez une conclusion limitée à notre règle simplifiée et une question qu’une mesure réelle poserait sur l’incertitude.
Vous serez prêt pour la suite lorsque chaque décision pourra être justifiée par des nombres, des unités et une condition explicite.

Référence pour la distinction entre spécification, incertitude et règle de décision : JCGM 106:2012 — BIPM.