1. Comprendre une variation régulière

Une relation permet de relier une valeur d’entrée à une valeur de sortie.
Dans certains modèles, ajouter toujours la même quantité à l’entrée produit toujours la même variation de sortie.
Cette régularité conduit à une droite et à un nombre appelé pente.
Le cours précédent construisait des couples et les plaçait dans un repère ;
nous allons maintenant expliquer comment calculer ce nombre, interpréter son signe et retrouver une équation.
L’objectif est de comprendre chaque opération avant d’utiliser une formule abrégée.

Considérons y = 2 × x + 1.
Lorsque x passe de 1 à 2, y passe de 3 à 5.
Lorsque x passe de 2 à 3, y passe de 5 à 7.
Une unité supplémentaire de x correspond chaque fois à deux unités supplémentaires de y.
La pente vaut donc 2.
Le terme fixe 1 joue un autre rôle :
il donne la valeur de y lorsque x vaut zéro.
Confondre ces deux nombres empêcherait de décrire correctement la relation.

2. Objectifs, prérequis et vocabulaire précis

Vous devrez calculer une pente à partir de deux points distincts, reconnaître une pente positive, négative ou nulle, identifier une valeur initiale et écrire une relation affine simple.
Vous devrez conserver le même ordre dans les deux différences, vérifier une équation par substitution et donner l’unité du coefficient lorsque les axes représentent des grandeurs physiques.
Les prérequis sont les nombres signés, les fractions, les coordonnées, les tableaux de valeurs et l’isolement d’une inconnue.
Les exemples de réservoir sont fictifs et ne constituent pas des consignes de fonctionnement.

En mathématiques françaises, une fonction linéaire s’écrit y = a × x et passe par l’origine.
Une fonction affine s’écrit y = a × x + b ;
elle inclut les fonctions linéaires lorsque b vaut zéro.
Le titre du cours utilise le mot « linéaires »
au sens courant de relations représentées par des droites ;
nous garderons la distinction mathématique dans les explications.
Le coefficient a est la pente, aussi appelée coefficient directeur, et b est l’ordonnée à l’origine.
Ici ces lettres désignent des paramètres, pas des noms de points.

3. Construire deux différences cohérentes

Prenons les points A(1 ; 3) et B(4 ; 9).
En allant de A vers B, la variation horizontale est 4 − 1 = 3 et la variation verticale est 9 − 3 = 6.
La pente est le quotient de la variation verticale par la variation horizontale :
a = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2.
Elle répond à la question :
de combien y varie-t-il pour une unité de variation de x ?
Ce quotient utilise les coordonnées des points, pas une longueur mesurée au réglet sur l’écran.

Une formule générale est a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), avec x₂ différent de x₁.
Les indices 1 et 2 désignent le premier et le second point choisis.
Si vous partez de B vers A, calculez les deux différences dans ce nouvel ordre :
(3 − 9)/(1 − 4) = (−6)/(−3) = 2.
Le résultat reste identique parce que les deux signes changent ensemble.
Inverser seulement le numérateur donnerait −2, une erreur d’ordre.
Annoncez votre point de départ avant le calcul.

4. Lire le signe et la valeur de la pente

Une pente positive signifie que y augmente quand x augmente.
Une pente négative signifie que y diminue quand x augmente.
Une pente nulle signifie que y reste constant lorsque x varie.
Par exemple, y = 2 × x + 1 augmente, y = −3 × x + 12 diminue et y = 4 reste constant.
Ces affirmations concernent la direction de lecture de gauche à droite dans le repère.
Elles ne disent pas si une évolution est souhaitable :
la hausse d’un coût et celle d’une production n’ont pas la même interprétation pratique.

La valeur absolue de la pente décrit l’importance de la variation par unité d’entrée.
Pour une augmentation de x de 2, une pente −3 donne une variation de y égale à −6 ;
une pente 0,5 donne une variation de y égale à 1.
Comparer deux pentes exige des axes et des unités compatibles.
Un nombre 60 exprimé en litres par heure ne décrit pas forcément une variation plus rapide qu’un nombre 2 exprimé en litres par minute.
Convertissez les unités avant d’ordonner les valeurs.

5. Une pente possède souvent une unité

Si x représente des minutes et y des litres, la variation verticale se mesure en litres et la variation horizontale en minutes.
Leur quotient se mesure en litres par minute.
Le nombre 2 signifie alors une augmentation de deux litres pour chaque minute supplémentaire.
Si les axes portent des nombres abstraits sans unités physiques, nous pouvons parler de deux unités de y par unité de x.
Le terme b possède l’unité de y ;
il ne possède pas celle de la pente.
Gardez cette distinction dans chaque phrase de résultat.

Un changement d’unité change la valeur numérique du coefficient.
Une augmentation de 2 L/min correspond à 120 L/h, car une heure contient soixante minutes.
Le phénomène reste le même.
De plus, l’angle visible d’une droite dépend du choix des graduations et des proportions de l’image.
Agrandir l’axe vertical rend la droite plus inclinée sans modifier les données.
Il ne faut donc pas déduire une valeur de pente de son apparence seule ;
utilisez les différences lues dans les unités des axes.

6. Retrouver la valeur initiale

Écrivons y = a × x + b.
Lorsque x = 0, le produit a × x vaut zéro et y vaut b.
Le point d’intersection avec l’axe vertical est donc (0 ; b).
Pour y = 2 × x + 1, ce point est (0 ; 1).
Le coefficient 2 décrit une variation ;
le nombre 1 décrit une valeur de départ.
Un départ peut être positif, négatif ou nul selon le repère et la grandeur.
Une valeur initiale négative n’est pas automatiquement une erreur mathématique, même si un volume physique négatif n’est pas admissible.

Si l’on connaît la pente et un point de la droite, on peut calculer b par b = y − a × x.
Avec A(1 ; 3) et a = 2, on trouve b = 3 − 2 × 1 = 1.
Avec B(4 ; 9), on trouve également b = 9 − 2 × 4 = 1.
Deux résultats différents signaleraient une erreur de calcul ou des points qui ne décrivent pas la même droite avec cette pente.
Ne prenez pas simplement la première valeur du tableau pour b si son abscisse n’est pas zéro.

7. Construire une équation à partir de deux points

Pour la droite passant par A(1 ; 3) et B(4 ; 9), commencez par la pente :
a = (9 − 3)/(4 − 1) = 2.
Utilisez ensuite un point pour la valeur initiale :
b = 3 − 2 × 1 = 1.
La relation obtenue est y = 2 × x + 1.
Vérifiez les deux points :
pour x = 1, la sortie vaut 3 ;
pour x = 4, elle vaut 9.
La méthode comporte donc trois étapes :
variation, valeur initiale, contrôle.
Chacune répond à une question différente.

Deux points d’abscisses différentes déterminent une unique droite non verticale.
Cela ne prouve pas qu’un ensemble de mesures physiques suit cette droite partout.
Les deux points peuvent définir un modèle choisi ;
des observations supplémentaires et une justification sont nécessaires pour l’appliquer à une situation réelle.
Si les deux abscisses sont identiques, le dénominateur est nul.
Vous ne pouvez pas effectuer la division ni utiliser cette méthode pour obtenir une fonction affine.
Nous examinerons ce cas particulier plus loin.

8. Contrôler la régularité dans un tableau

Le tableau décrit les couples (0 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 7) et (4 ; 9).
Les intervalles horizontaux valent 1, 2 puis 1 ;
les variations verticales valent 2, 4 puis 2.
Les trois quotients valent 2.
Comparer seulement les différences verticales aurait donné 2, 4, 2 et pourrait faire croire à une irrégularité.
Il faut les rapporter aux différences horizontales correspondantes.
Les abscisses d’un tableau ne sont pas toujours espacées régulièrement.
Vérifiez les deux colonnes avant de conclure.

Les valeurs choisies sont cohérentes avec y = 2 × x + 1.
Pour un modèle affine exact, toutes les pentes entre points d’abscisses différentes sont égales.
Un tableau fini permet de vérifier la cohérence des points disponibles, mais ne détermine pas à lui seul ce qui se produit entre eux ou au-delà.
Des mesures peuvent aussi contenir des incertitudes et ne pas être parfaitement alignées.
Dans ce cours, les valeurs sont exactes et calculées ;
une estimation à partir de mesures demanderait une méthode supplémentaire.

9. Pente constante et rythme moyen

Entre A et B, le quotient 6/3 = 2 est un rythme moyen de variation.
Pour la relation affine étudiée, ce même quotient est obtenu sur chaque intervalle non nul :
il est donc aussi la pente constante du modèle.
Pour une courbe quelconque, les rythmes moyens peuvent changer d’un intervalle à un autre.
Une valeur moyenne sur toute la période ne permet pas de dire que la variation a été régulière à chaque instant.
Reliez toujours votre résultat aux deux points qui ont servi au calcul.

Prenons des observations fictives (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 8).
Le premier intervalle donne (3 − 1)/(1 − 0) = 2 et le second donne (8 − 3)/(2 − 1) = 5.
Ces trois points ne suivent pas la même relation affine exacte.
Entre le premier et le dernier, le rythme moyen vaut (8 − 1)/(2 − 0) = 3,5.
Cette moyenne ne remplace pas les valeurs 2 et 5 ;
elle résume un autre intervalle.
Le mot « moyen »
doit rester présent quand la régularité n’est pas établie.

10. Exemple croissant : remplir un réservoir

Un réservoir fictif contient 1 L au départ et reçoit idéalement 2 L par minute, sans sortie.
Le volume est V = 2 × t + 1, avec t en minutes et V en litres.
Les points (1 ; 3) et (4 ; 9) donnent la pente (9 − 3)/(4 − 1) = 2 L/min.
L’ordonnée à l’origine vaut 1 L.
Au bout de cinq minutes, le modèle donne 11 L, seulement si la capacité du réservoir le permet et si les hypothèses restent respectées.
Le débit et le volume initial sont deux données distinctes.

Si vous cherchez le moment où le volume atteint 7 L, résolvez 7 = 2 × t + 1.
Soustrayez 1 puis divisez par 2 :
t = 3 min.
Vérifiez que ce temps appartient au domaine étudié.
Doubler t ne double pas le volume total, car le litre initial reste présent.
Le volume ajouté V − 1 est proportionnel au temps, tandis que V est affine.
Cette différence explique pourquoi une règle de trois appliquée directement au volume total peut produire une réponse fausse.

11. Exemple décroissant et pente négative

Un second réservoir fictif contient 12 L puis perd idéalement 3 L par minute, sans apport.
Le modèle est V = 12 − 3 × t.
Entre t = 1 et t = 3, le volume passe de 9 L à 3 L.
La pente vaut (3 − 9)/(3 − 1) = −6/2 = −3 L/min.
Le signe négatif indique une diminution du volume.
Le débit sortant annoncé comme une quantité positive est 3 L/min ;
la variation du volume, elle, a un coefficient signé −3 L/min.
Indiquez clairement lequel vous décrivez.

À t = 4 min, la formule donne zéro litre.
Après cet instant, elle donnerait un volume négatif et ne représenterait plus ce réservoir.
Le domaine physique de ce modèle est donc limité de 0 à 4 minutes.
La droite mathématique pourrait être prolongée, mais ce prolongement n’aurait plus le sens prévu.
Une formule simple et une pente constante n’autorisent pas une extrapolation sans limites.
La validité dépend des hypothèses, de la capacité, de l’absence d’apport et du maintien du débit idéal.

12. Cas horizontal, cas vertical et division impossible

Les points (1 ; 4) et (3 ; 4) ont la même ordonnée.
Leur pente vaut (4 − 4)/(3 − 1) = 0/2 = 0.
La droite est horizontale et la relation est y = 4, soit y = 0 × x + 4.
Cette fonction est affine constante ;
elle n’est pas linéaire au sens mathématique car elle ne passe pas par l’origine.
Zéro au numérateur avec un dénominateur non nul est une division parfaitement définie.
Il faut distinguer ce cas d’un zéro au dénominateur.

Les points (2 ; 1) et (2 ; 5) ont la même abscisse.
La variation horizontale vaut zéro :
(5 − 1)/(2 − 2) demanderait de diviser par zéro.
La pente n’est pas définie par ce quotient.
La droite verticale x = 2 contient plusieurs ordonnées pour une même abscisse ;
elle n’est donc pas le graphique d’une fonction y de x.
Dire que sa pente vaut zéro serait faux.
Deux points identiques ne déterminent pas non plus une droite unique ;
ils donnent une seule position.

13. Erreurs fréquentes et contrôles utiles

Ne remplacez pas la pente par le quotient y/x lorsque la valeur initiale b est non nulle.
Pour A(1 ; 3), y/x vaut 3 ;
pour B(4 ; 9), il vaut 9/4.
Pourtant la pente commune vaut 2.
Les quotients de valeurs et les quotients de variations répondent à des questions différentes.
Ne confondez pas non plus une pente négative avec un volume négatif.
Dans le modèle décroissant, le volume reste positif avant quatre minutes malgré le coefficient négatif.

Votre contrôle peut suivre quatre questions :
les différences utilisent-elles le même ordre ?
La différence horizontale est-elle non nulle ?
L’unité est-elle celle de la sortie divisée par celle de l’entrée ?
L’équation retrouvée reproduit-elle les points connus ?
Si la réponse échoue, reprenez les signes et la valeur initiale.
Pour comparer des situations, vérifiez aussi les unités et le domaine.
Une pente calculée correctement peut être interprétée incorrectement si l’on oublie qu’elle résume un modèle ou un intervalle précis.

14. Entraînement guidé et corrections

Cachez les réponses et écrivez chaque étape.
A :
calculez la pente entre (0 ; 2) et (3 ; 8).
B :
trouvez la valeur initiale de la droite de pente 2 passant par (3 ; 8).
C :
calculez la pente entre (1 ; 10) et (4 ; 4).
D :
pour y = −2 × x + 12, calculez y lorsque x = 5.
E :
convertissez 2 L/min en litres par heure.
F :
expliquez pourquoi les points (2 ; 1) et (2 ; 5) ne permettent pas une division de pente ordinaire.

Correction A :
(8 − 2)/(3 − 0) = 2.
B :
b = 8 − 2 × 3 = 2, donc y = 2 × x + 2.
C :
(4 − 10)/(4 − 1) = −2.
D :
−2 × 5 + 12 = 2.
E :
2 × 60 = 120 L/h.
F :
les abscisses sont égales, donc le dénominateur est nul ;
la droite est verticale.
Refaites ces calculs en inversant l’ordre des deux points dans A et C.
Le résultat de la pente doit rester identique si les deux différences sont inversées ensemble.

15. Synthèse et travail dans le carnet

Une pente est une variation verticale divisée par une variation horizontale non nulle.
Son signe indique la direction d’évolution et son unité dépend des axes.
Dans y = a × x + b, a est la pente et b la valeur pour x = 0.
Une fonction linéaire a une valeur initiale nulle ;
une fonction affine peut avoir un départ non nul.
Une droite horizontale a une pente nulle, tandis qu’une droite verticale n’a pas de pente définie par ce quotient.
Une relation physique garde un domaine de validité même si sa formule se prolonge mathématiquement.

Dans votre carnet, recopiez le tableau, calculez ses trois pentes et retrouvez l’équation sans regarder la correction.
Dessinez ensuite une relation croissante, une décroissante et une constante, en indiquant leurs valeurs initiales.
Écrivez deux phrases distinctes pour la pente et le volume initial de chaque réservoir.
Enfin, inventez trois points dont les deux rythmes moyens sont différents.
Vous serez prêt pour la suite lorsque vous pourrez passer des points au coefficient, du coefficient à l’équation et de l’équation à une interprétation avec unités et limites.