1. Deux nombres peuvent décrire une position

Pour retrouver une position sur une droite graduée, un seul nombre suffit.
Pour retrouver une position dans un plan, il faut généralement deux informations :
une position horizontale et une position verticale.
Un repère organise ces deux informations grâce à deux axes.
Les coordonnées d’un point forment un couple ordonné :
le premier nombre et le second n’ont pas le même rôle.
Ce cours reprend cette idée depuis le début, puis montre comment plusieurs points peuvent représenter une relation entre deux grandeurs.

Nous utiliserons un repère avec des nombres positifs et négatifs, un tableau de valeurs et deux dessins.
Les exemples sont fictifs et servent à apprendre les mathématiques.
Vous passerez de mots comme « à gauche »
et « au-dessus »
à une écriture précise, puis d’une formule à des points.
Vous apprendrez également à distinguer un dessin de position physique et un graphique reliant des grandeurs différentes.
Deux axes dessinés sur une feuille ne représentent pas forcément deux longueurs mesurées dans un atelier.

2. Objectifs et vocabulaire du repère

À la fin du cours, vous devrez lire et placer un point, conserver l’ordre de ses coordonnées, reconnaître les points situés sur les axes et construire un tableau à partir d’une relation simple.
Vous saurez vérifier si un point satisfait une équation et expliquer pourquoi une droite ne représente pas automatiquement une proportionnalité.
Les prérequis sont les nombres signés, les priorités opératoires, la lecture de graphiques et l’isolement d’une inconnue.
Nous utiliserons ces outils dans un ordre progressif plutôt que de commencer par une formule mémorisée.

Un repère possède une origine, deux axes et des graduations.
Dans nos figures, l’axe horizontal s’appelle l’axe des abscisses et porte la lettre x ;
l’axe vertical s’appelle l’axe des ordonnées et porte la lettre y.
L’abscisse est donc la première coordonnée et l’ordonnée la seconde.
L’origine est le point O, de coordonnées (0 ; 0).
Nous employons un point-virgule entre les coordonnées pour ne pas le confondre avec la virgule d’un nombre décimal.
Cette convention de notation rend les couples plus faciles à lire.

3. Origine, directions et signes

Dans le premier dessin, les axes se croisent à l’origine O.
Les abscisses positives sont à droite et les négatives à gauche.
Les ordonnées positives sont au-dessus et les négatives au-dessous.
Le point A(−2 ; 3) a donc une abscisse négative et une ordonnée positive.
Le point B(3 ; −2) a une abscisse positive et une ordonnée négative.
Avant de compter les graduations, annoncez la direction donnée par chaque signe.
Le signe ne décrit pas une qualité bonne ou mauvaise ;
il indique une position par rapport à l’origine choisie.

Une coordonnée nulle signifie que le déplacement sur cet axe est nul.
Le point C(0 ; 2) se trouve sur l’axe vertical, à l’ordonnée 2.
Le point D(−3 ; 0) se trouve sur l’axe horizontal, à l’abscisse −3.
Le point O(0 ; 0) appartient aux deux axes.
Ne confondez pas zéro et absence de coordonnée :
un couple doit garder ses deux nombres, même lorsqu’un des deux vaut zéro.
Une coordonnée oubliée ne permet pas de retrouver une position complète.

4. Lire un couple dans le bon ordre

Écrire A(−2 ; 3) signifie d’abord x = −2, puis y = 3.
Écrire (3 ; −2) donne une autre position, celle de B dans notre figure.
Inverser les coordonnées change donc généralement le point.
Pour un point comme (2 ; 2), l’inversion ne change rien parce que les deux nombres sont égaux ;
cette exception ne permet pas d’oublier l’ordre dans les autres cas.
Dites « abscisse, puis ordonnée »
à chaque lecture jusqu’à ce que la convention devienne naturelle.

Un point peut avoir des coordonnées décimales :
P(1,5 ; −0,5) désigne une abscisse de 1,5 et une ordonnée de −0,5.
Les virgules appartiennent aux nombres ;
le point-virgule sépare les deux coordonnées.
Si un texte utilise une autre convention, lisez-la avant d’interpréter la paire.
Le nom du point, comme A ou P, est une étiquette ;
il ne participe pas à une addition et ne représente pas une unité.
La position dépend des coordonnées et du repère, pas de la lettre choisie pour nommer le point.

5. Placer un point pas à pas

Pour placer A(−2 ; 3), partez de O, avancez de deux unités vers la gauche sur l’axe horizontal, puis de trois unités vers le haut parallèlement à l’axe vertical.
Marquez le point à l’intersection de ces deux indications.
Vous pouvez tracer légèrement une verticale passant par x = −2 et une horizontale passant par y = 3 ;
leur intersection donne A.
Les deux méthodes décrivent la même position.
Le déplacement est une aide de construction sur la feuille, pas forcément un trajet réel entre deux endroits.

Pour placer B(3 ; −2), allez de trois unités à droite puis de deux unités vers le bas.
Contrôlez ensuite en relisant le point depuis les axes :
son abscisse doit être 3 et son ordonnée −2.
Si vous partez du point précédent au lieu de repartir du repère, vous risquez d’additionner des déplacements qui n’étaient pas demandés.
Utilisez chaque couple comme une position définie par rapport à la même origine.
Pour des décimales, partagez correctement l’intervalle entre graduations plutôt que d’arrondir silencieusement la coordonnée.

6. Lire les coordonnées d’un point dessiné

Pour lire A sur la figure, projetez sa position verticalement vers l’axe horizontal :
vous trouvez −2.
Projetez ensuite horizontalement vers l’axe vertical :
vous trouvez 3.
Le couple est (−2 ; 3).
La projection sert à retrouver les deux repères, pas à mesurer une distance oblique jusqu’à l’origine.
Pour C situé sur l’axe vertical, la première coordonnée vaut zéro ;
sa hauteur fournit la seconde.
Donnez toujours les deux valeurs lorsque la question demande les coordonnées complètes.

La lecture peut être approchée si le point n’a pas d’étiquette exacte et se trouve entre deux graduations.
Précisez alors l’estimation, comme environ 1,5 pour une abscisse, selon la finesse du dessin.
Nos points étiquetés ont des valeurs exactes données dans le texte ;
le dessin les illustre.
Une capture d’écran redimensionnée ne crée pas une précision supplémentaire.
Vérifiez le pas de chaque axe, les signes et la présence éventuelle d’une rupture avant d’annoncer une valeur.
Les coordonnées lisibles doivent rester cohérentes avec l’échelle.

7. Deux axes peuvent avoir des unités différentes

Dans un dessin de position, x et y pourraient être des distances exprimées en millimètres.
Dans un graphique d’évolution, x pourrait être un temps en minutes et y un volume en litres.
La même forme de repère sert alors à représenter une relation entre deux grandeurs, sans décrire un lieu dans l’espace.
Un couple (2 ; 8) signifierait deux minutes et huit litres si les axes le définissent ainsi.
Il faut donc lire les noms et les unités avant d’utiliser les coordonnées.

L’échelle horizontale et l’échelle verticale peuvent être différentes.
Un centimètre sur la feuille peut représenter une minute horizontalement et cinq litres verticalement.
L’angle d’une droite dessinée dépend de ces choix ;
il ne suffit pas à déterminer une valeur de débit.
De même, une distance mesurée au réglet entre deux points du graphique n’est pas une différence de volume ou de temps.
Utilisez séparément les valeurs sur les axes.
Les outils de géométrie d’un plan physique et les calculs d’une relation ne se confondent pas automatiquement.

8. Construire un tableau à partir d’une relation

Considérons la relation y = 2 × x + 1.
Pour chaque valeur choisie de x, nous calculons une valeur de y.
Avec x = −2, on obtient y = 2 × (−2) + 1 = −3.
Avec x = −1, on obtient −1 ;
avec x = 0, on obtient 1 ;
avec x = 1, on obtient 3 ;
avec x = 2, on obtient 5.
Le tableau rassemble ces cinq couples.
Respectez la multiplication avant l’addition et utilisez des parenthèses pour les valeurs négatives.

Chaque ligne du tableau associe une abscisse à son ordonnée correspondante.
Ne déplacez pas une valeur de y vers une autre ligne :
vous changeriez le couple et il pourrait ne plus satisfaire la relation.
Le choix des valeurs de x dépend de la question et du domaine étudié.
Ici, nous prenons cinq valeurs entières pour apprendre la méthode, mais la relation mathématique peut aussi être calculée pour des décimales.
Si une situation impose seulement des nombres entiers ou un intervalle limité, cette restriction doit être annoncée avant la représentation.

9. Du tableau à la représentation

Placez successivement les points (−2 ; −3), (−1 ; −1), (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 5).
Dans le second dessin, ils sont alignés.
La relation y = 2 × x + 1 décrit une droite lorsqu’on la considère pour toutes les valeurs réelles de x.
La figure montre seulement la portion correspondant aux abscisses choisies, de −2 à 2.
Ne confondez pas la limite du cadre avec une limite automatique de la relation.
Le domaine indiqué par la situation et le domaine visible sur le dessin sont deux informations différentes.

Relier des points n’est justifié que par le modèle retenu.
Ici, la formule définit aussi les valeurs entre les abscisses du tableau ;
la liaison droite représente cette relation.
Un tableau de cinq observations quelconques n’autoriserait pas à conclure automatiquement que toutes les valeurs intermédiaires suivent exactement une droite.
Vérifiez ce que les points représentent :
résultats d’une formule ou mesures.
Pour un comptage de pièces, certaines abscisses entières pourraient seules être pertinentes, même si une droite est utilisée comme aide visuelle.
La représentation doit respecter le sens des données.

10. Vérifier l’appartenance d’un point

Pour savoir si le point (3 ; 7) satisfait y = 2 × x + 1, remplacez x par 3 :
le membre de droite vaut 2 × 3 + 1 = 7.
Il est égal à l’ordonnée proposée, donc le point satisfait la relation.
Pour (3 ; 8), le même calcul donne 7 et non 8 :
ce point ne satisfait pas la relation.
Vous vérifiez une égalité, pas une impression de proximité sur le dessin.
Le cadre de la figure s’arrête à x = 2, mais la formule permet ici ce contrôle à x = 3.

Si l’ordonnée est donnée et l’abscisse inconnue, résolvez l’équation.
Pour y = 7, écrivez 7 = 2 × x + 1 ;
soustrayez 1 :
6 = 2 × x ;
divisez par 2 :
x = 3.
Vérifiez en remplaçant cette valeur dans la relation initiale.
Ne confondez pas chercher y à partir de x et chercher x à partir de y :
l’opération doit répondre à la donnée connue.
Ce modèle donne une réponse unique dans les deux sens parce que son coefficient 2 est non nul ;
ce n’est pas une propriété de toute relation possible.

11. Une droite ne signifie pas forcément proportionnalité

Quand x augmente d’une unité dans y = 2 × x + 1, y augmente de deux unités.
Le terme 2 indique un rythme constant de variation entre les deux valeurs, et le terme 1 est la valeur de y quand x vaut zéro.
La droite coupe donc l’axe vertical au point (0 ; 1), pas à l’origine O.
Cette relation est affine.
Elle n’est pas une proportionnalité directe, car le quotient y/x n’est pas constant pour x non nul :
à x = 1 il vaut 3, et à x = 2 il vaut 5/2.

Une proportionnalité directe de la forme y = k × x, étudiée précédemment, passe par l’origine lorsque zéro fait partie du domaine.
Le coefficient k donne le même multiplicateur pour chaque valeur.
Pour notre relation avec le terme fixe 1, doubler x ne double pas généralement y.
Passer de x = 1 à x = 2 fait passer y de 3 à 5, et non de 3 à 6.
Ne choisissez donc pas une règle de trois uniquement parce que les points sont alignés.
La formule, le passage par zéro et les rapports doivent être examinés ensemble.

12. Exemple : un volume avec une quantité initiale

Un réservoir fictif contient initialement 2 L.
Un apport idéal de débit constant ajoute 3 L par minute, sans sortie de liquide.
Le volume V après t minutes est V = 3 × t + 2, pour les temps étudiés où la capacité n’est pas dépassée.
À t = 0, V = 2 L ;
à t = 1, V = 5 L ;
à t = 2, V = 8 L ;
à t = 3, V = 11 L.
Chaque couple associe un temps à un volume, avec des unités différentes sur les axes.

Le coefficient 3 a ici l’unité litre par minute, tandis que le terme fixe 2 a l’unité litre.
Entre une et trois minutes, le volume augmente de 11 − 5 = 6 L en 3 − 1 = 2 minutes ;
le rythme moyen vaut 6/2 = 3 L par minute.
Le volume total n’est pas directement proportionnel au temps, car 2 L sont présents au départ.
Seul le volume ajouté, V − 2, suit ce modèle proportionnel.
Si le débit change ou si le réservoir atteint sa capacité, cette relation simple ne décrit plus automatiquement la situation.

13. Domaine et unicité : ce que représente la relation

Pour y = 2 × x + 1, chaque abscisse choisie donne une seule ordonnée.
Cette propriété permet de parler d’une fonction, notion approfondie ensuite dans le programme.
Dans un relevé réel, plusieurs observations peuvent avoir la même abscisse et des ordonnées différentes :
deux mesures au même instant, par exemple.
Un ensemble de points n’est donc pas automatiquement une fonction du temps sans préciser ce qui est mesuré.
Avant toute lecture inverse, vérifiez aussi qu’une même ordonnée ne correspond pas à plusieurs abscisses.

Le domaine est l’ensemble des valeurs autorisées pour l’entrée.
Le modèle du réservoir ne représente pas un temps négatif avant l’origine choisie ni un volume au-delà de sa capacité.
La formule abstraite y = 2 × x + 1 peut être calculée pour un x négatif, mais une situation concrète peut le refuser.
Écrire une équation ne supprime pas ces contraintes.
Une valeur hors du dessin peut être calculable, tandis qu’une valeur hors du domaine n’a pas le sens prévu dans le modèle.
Gardez ces deux limites séparées dans votre explication.

14. Entraînement guidé et corrections

Cachez les réponses puis travaillez sur le repère et la relation.
A :
donnez l’abscisse de D et l’ordonnée de C.
B :
placez le point (1 ; −2) et expliquez ses directions.
C :
calculez y pour x = −3 dans y = 2 × x + 1.
D :
vérifiez si (2 ; 4) satisfait cette relation.
E :
dans le modèle du réservoir, calculez le volume après 4 minutes, en supposant que la capacité le permet.
Écrivez les coordonnées dans l’ordre et conservez les unités lorsqu’elles sont définies.

Correction A :
l’abscisse de D vaut −3 et l’ordonnée de C vaut 2.
B :
une unité à droite, deux unités vers le bas.
C :
2 × (−3) + 1 = −5.
D :
non, car 2 × 2 + 1 = 5 et non 4.
E :
3 × 4 + 2 = 14 L.
Refaites les calculs en vérifiant les signes et les priorités.
Expliquez pourquoi (−2 ; 3) et (3 ; −2) sont deux points différents, puis pourquoi une valeur calculée hors du cadre peut rester valable si elle appartient au domaine du modèle.

15. Synthèse et travail dans le carnet

Dans nos repères, l’abscisse x est horizontale et l’ordonnée y verticale ;
le couple est ordonné (x ; y).
L’origine vaut (0 ; 0).
Les signes indiquent les directions et une coordonnée nulle place le point sur un axe.
Pour représenter une relation, choisissez des valeurs autorisées, calculez les couples, construisez le tableau et placez les points avec les bonnes graduations.
Vérifiez une appartenance par substitution.
Une relation affine avec un terme fixe non nul n’est pas une proportionnalité directe, même si sa représentation est une droite.

Dans votre carnet, dessinez un repère, placez A, B, C et D puis relisez leurs coordonnées sans regarder les réponses.
Refaites le tableau de y = 2 × x + 1 et ajoutez deux valeurs décimales de votre choix.
Vérifiez un point qui satisfait la relation et un autre qui ne la satisfait pas.
Enfin, rédigez la différence entre un plan de position et un graphique temps-volume.
Vous serez prêt pour la suite lorsque vous pourrez passer du couple au dessin, du tableau à la formule et de la formule à une interprétation précise.