1. Décrire une série avant de décider

Une série est un ensemble de valeurs recueillies pour une même grandeur.
On peut relever la durée de cinq interventions, mesurer la longueur de plusieurs pièces ou compter la production de plusieurs journées.
Lire chaque valeur reste important, mais quelques indicateurs permettent de résumer la série.
La moyenne décrit un niveau moyen ;
le minimum et le maximum repèrent les valeurs extrêmes ;
leur différence décrit l’étendue.
Ces indicateurs répondent à des questions différentes.
Aucun ne remplace à lui seul les données initiales ni leur contexte.

Nous travaillerons avec des exemples fictifs destinés à apprendre les calculs.
Une moyenne de durées n’est pas une consigne de maintenance ;
une mesure extrême ne suffit pas à déclarer une pièce conforme ou non conforme sans critère défini.
Commencez par écrire ce que vous avez observé, l’unité, le nombre de valeurs et la période concernée.
Deux séries ne sont comparables que si elles décrivent des situations suffisamment comparables.
Une différence de contexte peut expliquer une différence d’indicateur, même lorsque le calcul est exact.

2. Objectifs et prérequis

À la fin de ce cours, vous devrez calculer une moyenne arithmétique simple, trouver un minimum et un maximum, puis calculer une étendue.
Vous saurez expliquer pourquoi une moyenne peut ne correspondre à aucune valeur réellement observée.
Vous distinguerez l’étendue, l’écart signé à une référence et la distance positive à cette référence.
Vous découvrirez aussi pourquoi une moyenne de moyennes exige parfois une pondération.
L’objectif n’est pas de mémoriser quatre boutons de calculatrice :
il est de choisir un indicateur qui répond à la question posée.

Reprenez l’addition, la division, les nombres décimaux et les conversions.
Pour la série 8, 10 et 12 minutes, la somme vaut 30 minutes et le nombre de valeurs vaut 3.
Le nombre de valeurs est un comptage, pas une durée.
Diviser 30 minutes par 3 donne 10 minutes.
Gardez les unités au fil du calcul.
Si une valeur est exprimée en secondes et les autres en minutes, convertissez avant d’additionner ;
additionner les nombres seuls donnerait un résultat sans sens.

3. Compter les observations sans en oublier

Écrivons les durées suivantes :
8, 10, 10, 12 et 15 minutes.
Il y a cinq observations, même si 10 apparaît deux fois.
Une valeur répétée compte autant de fois qu’elle a été observée.
Le nombre de valeurs s’appelle l’effectif total ;
nous le noterons n.
Ici, n = 5.
Ne confondez pas le nombre de valeurs différentes, qui vaut quatre, avec le nombre d’observations, qui vaut cinq.
La moyenne utilise toutes les observations, y compris les répétitions.

Un zéro observé n’est pas une donnée manquante.
Si quatre journées ont produit 20, 0, 30 et 30 pièces, et si la journée à zéro fait bien partie de la période étudiée, l’effectif est 4 et la somme est 80.
Une case vide indique au contraire que l’information manque ;
il faut chercher ce qu’elle signifie avant de calculer.
Ne remplacez pas automatiquement une donnée inconnue par zéro.
Ne retirez pas non plus une observation simplement parce qu’elle vous paraît gênante :
toute correction demande une raison vérifiable.

4. Comprendre la moyenne comme un partage égal

La moyenne arithmétique simple est la somme des valeurs divisée par leur nombre.
Pour 8, 10, 10, 12 et 15 minutes, la somme vaut 55 minutes ;
la moyenne vaut 55/5 = 11 minutes.
Imaginez répartir les 55 minutes également entre cinq interventions fictives :
chacune recevrait 11 minutes.
Cela explique la division par l’effectif.
La moyenne conserve le total lorsque chaque observation est remplacée par cette même valeur.
Elle ne signifie pas que les interventions réelles ont toutes duré 11 minutes.

Pour calculer sans vous perdre, suivez quatre étapes :
compter les valeurs, additionner, diviser et interpréter avec l’unité.
Vérifiez ensuite que moyenne × effectif = somme, avant tout arrondi.
Dans notre exemple, 11 × 5 = 55.
Cette vérification détecte une erreur de division, mais elle ne garantit pas que vous avez recopié toutes les données correctement.
Faites aussi une comparaison avec la liste initiale.
Une méthode organisée réduit les oublis mieux qu’un calcul très rapide effectué sans contrôler l’effectif.

5. Écrire et lire la formule

Pour cinq valeurs, on peut écrire moyenne = (première valeur + deuxième valeur + troisième valeur + quatrième valeur + cinquième valeur)/5.
Les parenthèses indiquent que toute la somme doit être divisée.
Avec 8, 10, 10, 12 et 15, écrire 8 + 10 + 10 + 12 + 15/5 donnerait 43 ;
ce n’est pas la moyenne, car seule la dernière valeur serait divisée selon les priorités opératoires.
Le bon calcul est (8 + 10 + 10 + 12 + 15)/5 = 11.

Vous rencontrerez plus tard une écriture compacte utilisant un symbole de somme.
Pour l’instant, le sens suffit :
total des valeurs, puis division par l’effectif.
Une série vide n’a pas de moyenne arithmétique définie, car on ne peut pas diviser par zéro.
Si la série contient une seule valeur, sa moyenne est cette valeur.
Si toutes les valeurs sont égales à 7, leur moyenne vaut 7, quel que soit l’effectif positif.
Ces cas simples permettent de vérifier que vous comprenez la règle, sans apprendre une notation supplémentaire.

6. Minimum et maximum : comparer correctement

Le minimum est la plus petite valeur observée ;
le maximum est la plus grande.
Pour 8, 10, 10, 12 et 15 minutes, le minimum vaut 8 minutes et le maximum 15 minutes.
Vous pouvez trier les valeurs dans l’ordre croissant pour les repérer.
Il n’est pas nécessaire que la série soit déjà triée dans le relevé.
Une valeur extrême peut apparaître plusieurs fois :
si deux interventions durent 15 minutes, le maximum reste 15 minutes, et non 30 minutes.

Avec des nombres négatifs, comparez leur position sur la droite numérique.
Pour les températures −3, −1, 2 et 4 degrés Celsius, le minimum vaut −3 degrés et le maximum 4 degrés.
Le nombre −3 est inférieur à −1, même si 3 est supérieur à 1.
Avec les décimaux, 9,08 est inférieur à 9,8, car 9,8 s’écrit aussi 9,80.
Ne comparez pas uniquement la longueur de l’écriture.
Convertissez les unités si nécessaire, puis comparez les valeurs de la même grandeur.

7. Étendue : mesurer l’écart entre les extrêmes

L’étendue est la différence entre le maximum et le minimum :
étendue = maximum − minimum.
Pour les durées de 8 à 15 minutes, elle vaut 15 − 8 = 7 minutes.
L’ordre de la soustraction est essentiel :
l’étendue est toujours positive ou nulle pour une série non vide.
Si toutes les valeurs sont égales, le minimum et le maximum coïncident, donc l’étendue vaut zéro.
Ce résultat décrit l’absence de variation dans les valeurs relevées ;
il ne prouve pas que l’instrument mesure sans erreur.

Pour les températures −3, −1, 2 et 4 degrés Celsius, l’étendue vaut 4 − (−3) = 7 degrés.
On mesure ici une différence de température.
Les parenthèses aident à ne pas perdre le signe négatif.
L’étendue dépend seulement de deux valeurs extrêmes ;
elle ne décrit pas la répartition des autres observations.
Deux séries peuvent avoir la même étendue et être organisées très différemment.
Dans ce cours, ce sera notre premier indicateur de dispersion, sans le confondre avec un écart-type que nous n’avons pas encore défini.

8. Même moyenne, dispersion différente

Comparons deux séries de durées.
Série A :
9, 10 et 11 minutes.
Série B :
2, 10 et 18 minutes.
Leurs sommes valent chacune 30 minutes ;
leurs moyennes valent chacune 10 minutes.
Pourtant, l’étendue de A vaut 11 − 9 = 2 minutes, tandis que celle de B vaut 18 − 2 = 16 minutes.
Dire uniquement « la moyenne est de 10 minutes »
masque donc une différence importante de dispersion.
Conservez au moins les extrêmes lorsque la régularité des observations compte pour votre question.

Ces trois nombres ne prouvent pas à eux seuls la régularité future d’un procédé.
Le nombre d’observations est faible et les conditions peuvent changer.
L’exemple montre seulement pourquoi plusieurs indicateurs sont complémentaires.
Une moyenne résume le niveau ;
une étendue résume la distance entre les extrêmes.
Pour comparer les séries, annoncez ce que vous comparez réellement.
Ne concluez pas que toute la série A est meilleure que la série B sans critère lié à la situation.
Une durée plus faible n’est pas automatiquement un meilleur résultat.

9. Écart signé et distance à une référence

Le mot « écart »
doit être précisé.
Si une référence de durée vaut 10 minutes, l’écart signé d’une observation est observation − référence.
Pour une durée de 12 minutes, il vaut 12 − 10 = +2 minutes ;
pour 8 minutes, il vaut 8 − 10 = −2 minutes.
Le signe indique de quel côté de la référence se trouve la valeur.
Une autre convention, référence − observation, inverserait les signes ;
annoncez donc toujours la convention retenue au lieu de laisser le lecteur la deviner.

Si vous cherchez seulement la distance à la référence, utilisez la valeur positive de la différence.
Pour 8 minutes comparées à 10 minutes, la distance vaut 2 minutes.
Elle ne conserve pas l’information « en dessous ».
La valeur absolue est une notation pour cette distance ;
elle sera approfondie dans la suite du programme.
Ne confondez pas cet écart à une référence avec l’étendue de toute la série.
Une observation seule peut avoir une distance à une référence, alors que son étendue, comme série d’une valeur, vaut zéro.

10. Unités, décimaux et arrondis

Trois durées valent 30 secondes, 1 minute et 90 secondes.
Convertissons tout en secondes :
30, 60 et 90.
La somme vaut 180 secondes ;
la moyenne vaut 180/3 = 60 secondes, soit 1 minute.
Le minimum vaut 30 secondes, le maximum 90 secondes, et l’étendue 60 secondes.
Additionner 30 + 1 + 90 puis diviser par 3 aurait mélangé des unités.
Choisissez une unité commune avant le calcul et convertissez seulement le résultat si cela facilite sa lecture.

La moyenne de 1, 2 et 2 minutes vaut 5/3 minutes.
Son écriture décimale ne s’arrête pas ;
on peut annoncer environ 1,67 minute, après arrondi au centième.
Gardez la valeur exacte ou davantage de chiffres pendant les calculs intermédiaires.
Un arrondi peut faire échouer légèrement le contrôle moyenne × effectif = somme :
1,67 × 3 = 5,01.
Ce léger écart vient de l’arrondi.
Ne donnez pas une précision artificielle supérieure à celle que les mesures permettent ;
indiquez clairement quand le résultat est approché.

11. Valeur inhabituelle : examiner sans effacer

Pour les durées 8, 9, 10 et 33 minutes, la somme vaut 60 et la moyenne 15 minutes.
La dernière valeur augmente nettement la moyenne ;
elle fixe aussi le maximum.
Vérifiez le relevé :
33 peut correspondre à une intervention différente, à un arrêt supplémentaire ou à une erreur de saisie.
Le calcul ne peut pas décider lequel de ces cas est vrai.
Une moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.
Revenir aux observations et à leurs circonstances est donc indispensable avant d’interpréter le résumé.

Si 33 est une observation valide de la période étudiée, ne la supprimez pas pour rendre la moyenne plus favorable.
Si une erreur est démontrée, corrigez-la en conservant une trace de la justification.
Si vous séparez des catégories d’interventions, expliquez la règle de regroupement avant de recalculer.
Vous pourrez rencontrer d’autres indicateurs, comme la médiane, qui répondent à d’autres questions.
Nous ne les utilisons pas ici pour remplacer silencieusement la moyenne :
apprenez d’abord ce que chaque indicateur dit et ce qu’il laisse de côté.

12. Effectifs différents : la moyenne pondérée

Un premier groupe de deux mesures a une moyenne de 10 minutes ;
un second groupe de huit mesures a une moyenne de 20 minutes.
La moyenne de toutes les dix mesures n’est pas (10 + 20)/2 = 15 minutes.
Le premier groupe représente 2 × 10 = 20 minutes au total ;
le second représente 8 × 20 = 160 minutes.
Le total général vaut 180 minutes pour 10 observations, donc la moyenne générale vaut 180/10 = 18 minutes.
Le groupe le plus nombreux pèse davantage dans le résultat.

Une moyenne pondérée tient compte du nombre d’observations associé à chaque valeur ou moyenne de groupe.
Vous pouvez toujours revenir au principe :
reconstituer la somme totale, puis diviser par l’effectif total.
Une moyenne simple des moyennes de groupes convient lorsque leurs effectifs sont égaux et que les données sont comparables.
Si les moyennes de groupes ont déjà été arrondies, la moyenne reconstruite peut être approchée.
Si vous disposez des données originales, utilisez-les pour éviter de propager les arrondis.
Les pondérations doivent être connues, pas inventées.

13. Méthode complète sur un relevé industriel

Prenons cinq longueurs fictives :
19,8 ;
20,0 ;
20,1 ;
19,9 et 20,2 mm.
Elles décrivent la même grandeur, dans la même unité.
L’effectif vaut 5.
La somme vaut 100,0 mm ;
la moyenne vaut 100,0/5 = 20,0 mm.
Le minimum vaut 19,8 mm et le maximum 20,2 mm.
L’étendue vaut 20,2 − 19,8 = 0,4 mm.
Avec une référence annoncée de 20,0 mm, l’écart signé de la dernière mesure vaut +0,2 mm et sa distance à la référence vaut 0,2 mm.

Pour contrôler la moyenne, vérifiez qu’elle se situe entre le minimum et le maximum.
Une moyenne arithmétique simple de valeurs réelles se trouve toujours dans cet intervalle ;
ici, 20,0 est entre 19,8 et 20,2.
Si votre résultat sort de cet intervalle, cherchez une erreur de somme, d’effectif ou d’unité.
Ce contrôle est nécessaire mais pas suffisant :
un mauvais résultat peut rester dans l’intervalle.
Vérifiez aussi 20,0 × 5 = 100,0.
Sans limites de tolérance et règle d’acceptation définies, ces indicateurs ne permettent pas de conclure à la conformité.

14. Entraînement guidé et corrections

Travaillez sur trois relevés avant de lire les corrections.
A :
6, 8, 8 et 10 minutes ;
trouvez l’effectif, la somme, la moyenne, le minimum, le maximum et l’étendue.
B :
−2, 0, 1 et 5 degrés Celsius ;
trouvez la moyenne et l’étendue.
C :
deux groupes comparables comportent respectivement 3 et 7 observations, avec des moyennes exactes de 4 et 6 minutes ;
trouvez la moyenne générale.
Pour chaque résultat, expliquez la division ou la soustraction et écrivez l’unité.

Correction A :
effectif 4, somme 32 minutes, moyenne 8 minutes, minimum 6, maximum 10 et étendue 4 minutes.
Correction B :
somme 4, moyenne 1 degré Celsius, minimum −2, maximum 5 et étendue 5 − (−2) = 7 degrés.
Correction C :
total 3 × 4 + 7 × 6 = 54 minutes ;
effectif 10 ;
moyenne 5,4 minutes.
Refaites les calculs en cachant ces réponses.
Expliquez pourquoi la valeur 8 répétée compte deux fois et pourquoi le second groupe influence davantage la moyenne générale.

15. Synthèse et travail dans le carnet

Pour une série non vide, la moyenne arithmétique simple est la somme divisée par l’effectif.
Le minimum et le maximum sont des valeurs observées ;
la moyenne ne l’est pas forcément.
L’étendue est maximum − minimum.
L’écart signé à une référence conserve le sens de la différence, tandis que la distance conserve seulement sa grandeur positive ou nulle.
Une moyenne générale de groupes de tailles différentes exige leurs effectifs.
Avant tout calcul, vérifiez les unités, les données manquantes et la signification des zéros.

Dans votre carnet, créez une série de cinq valeurs avec une répétition, puis calculez les quatre indicateurs.
Construisez ensuite deux séries ayant la même moyenne et des étendues différentes.
Choisissez une référence et écrivez l’écart signé d’une observation située en dessous, puis sa distance à cette référence.
Enfin, expliquez la moyenne pondérée avec deux groupes de tailles inégales.
Vous serez prêt pour le prochain cours lorsque vous pourrez interpréter chaque résultat avec une phrase claire et reconnaître les conclusions que les données ne permettent pas de tirer.