1. Deux grandeurs peuvent varier ensemble

Une grandeur est une quantité que l’on peut mesurer ou compter :
longueur, durée, masse, nombre de pièces ou volume.
Deux grandeurs liées ne sont pas forcément proportionnelles.
Si l’on double le nombre de pièces identiques et que leur masse totale double, on peut reconnaître une proportionnalité directe sous certaines conditions.
Si l’on double une vitesse constante et que la durée nécessaire pour parcourir une même distance est divisée par deux, on rencontre une proportionnalité inverse.
Le sens de la situation vient avant le calcul.

Ce cours construit ces deux modèles avec des mots, des tableaux et des formules.
Vous apprendrez à choisir ce qui reste constant et à expliquer pourquoi vous multipliez ou divisez.
Nous utiliserons des exemples fictifs simples pour comprendre les relations, sans supposer que toute machine réelle suit exactement le modèle.
Une valeur calculée n’est utile que si les hypothèses décrivent la situation.
Gardez une feuille :
avant chaque opération, écrivez les deux grandeurs, leurs unités et la condition qui relie les données.

2. Objectifs et bases à reprendre

À la fin du cours, vous devrez reconnaître une proportionnalité directe par un quotient constant et une proportionnalité inverse par un produit constant.
Vous pourrez compléter un tableau, calculer une quatrième valeur et vérifier le résultat par une autre méthode.
Vous distinguerez ces modèles d’une relation comprenant un terme fixe.
Vous expliquerez aussi pourquoi une augmentation peut produire un résultat plus grand dans un cas et plus petit dans l’autre.
Il ne suffit pas de remarquer que deux valeurs augmentent ou diminuent.

Reprenez les fractions, les ratios, les conversions et l’isolement d’une inconnue.
Vous devez pouvoir calculer une valeur par unité, lire une division avec son unité et comparer des rapports.
Par exemple, 12 pièces en 3 minutes correspondent à 4 pièces par minute si le débit de production est constant sur la période.
L’inverse, 3/12 minute par pièce, décrit une durée moyenne par pièce.
Ces deux rapports peuvent être corrects, mais leurs unités et leurs usages sont différents.
Choisissez celui qui répond à votre question.

3. Proportionnalité directe : la même multiplication

Deux grandeurs sont directement proportionnelles lorsque l’une est obtenue en multipliant l’autre par un même coefficient constant.
Écrivons y = k × x.
Si x est multiplié par 3, y est aussi multiplié par 3, puisque k ne change pas.
Pour des pièces identiques de masse 0,25 kg chacune, la masse totale est m = 0,25 × n, où n est le nombre de pièces.
Deux pièces donnent 0,5 kg ;
six donnent 1,5 kg ;
dix donnent 2,5 kg.

Le coefficient k a un sens et parfois une unité.
Ici, il vaut 0,25 kg par pièce.
Le modèle suppose des pièces de même masse et une masse totale sans emballage ajouté.
Si les pièces diffèrent, un coefficient unique ne convient pas automatiquement.
Une situation directement proportionnelle vérifie aussi que zéro unité de la première grandeur correspond à zéro unité de la seconde, lorsque zéro appartient au domaine du modèle.
Cette propriété sera utile pour distinguer une relation proportionnelle d’une relation avec un coût ou une masse fixe.

4. Tester un quotient constant

Pour tester une proportionnalité directe dans un tableau, calculez y/x pour chaque paire dont x est non nul, en conservant les mêmes unités.
Avec x égal à 2, 6 et 10 pièces, et y égal à 0,5, 1,5 et 2,5 kg, les trois quotients valent 0,25 kg par pièce.
Ce quotient commun est le coefficient k.
Il faut comparer des paires correspondant à la même situation :
un nombre d’un lot ne doit pas être divisé par la masse d’un autre lot.

Un tableau de quelques mesures compatibles ne prouve pas que le modèle reste valable dans toutes les conditions.
Les mesures peuvent être arrondies ou contenir une incertitude.
Dans ce cours, les nombres exacts sont choisis pour apprendre la méthode.
Si des valeurs réelles donnent des quotients légèrement différents, n’effacez pas les écarts pour imposer la proportionnalité ;
examinez les données et le domaine de fonctionnement.
Et ne calculez jamais y/x pour x = 0 :
vérifiez séparément la paire correspondant à zéro.

5. Tableau direct et passage par l’unité

Un tuyau idéal contient 1,8 L pour une longueur de 3 m, avec la même section intérieure partout.
On cherche le volume correspondant à 7 m.
Le volume par mètre vaut 1,8/3 = 0,6 L/m.
Pour 7 m, le volume vaut 0,6 × 7 = 4,2 L.
Le passage par l’unité sépare deux questions :
combien pour un mètre, puis combien pour sept mètres.
La section doit rester identique ;
un changement de diamètre intérieur modifierait le coefficient.

Vous pouvez également appliquer le facteur 7/3 aux deux grandeurs :
la longueur passe de 3 à 7 m, donc le volume passe de 1,8 à 1,8 × 7/3 = 4,2 L.
Ce facteur n’a pas d’unité car il compare deux longueurs dans la même unité.
Les deux méthodes doivent coïncider.
Dans votre tableau, inscrivez une ligne pour les longueurs et une pour les volumes, puis dessinez la même flèche de multiplication sur chaque ligne.
Cela rend visible la logique du calcul.

6. Quatrième proportionnelle et produit en croix

Avec un modèle direct, une première paire x₁, y₁ et une nouvelle valeur x₂ donnent y₂ = y₁ × x₂/x₁, si x₁ est non nul.
Cette écriture vient de y₁/x₁ = y₂/x₂ lorsque les deux quotients sont définis.
Prenons 4 kg d’un matériau pour 16 pièces identiques :
pour 30 pièces, la masse vaut 4 × 30/16 = 7,5 kg.
Une méthode par pièce donnerait 4/16 = 0,25 kg par pièce, puis le même résultat.

Le produit en croix est une conséquence d’une égalité de rapports, pas une formule à appliquer à toute liste de quatre nombres.
Écrivez d’abord l’égalité et indiquez quelles valeurs vont ensemble.
Si vous inversez un seul rapport, vous changez le modèle.
Avec 16 pièces pour 4 kg, 30 pièces pour une masse cherchée, vous pouvez écrire 16/4 = 30/m ou 4/16 = m/30.
Les deux égalités sont cohérentes.
Ne mélangez pas les numérateurs d’une version avec les dénominateurs de l’autre.

7. Échelles et conversions cohérentes

À l’échelle 1:50, une longueur sur le dessin est cinquante fois plus petite que la longueur réelle.
Une longueur dessinée de 4 cm représente 200 cm, soit 2 m.
Le modèle concerne ici les longueurs.
Pour comparer une longueur dessinée avec une longueur réelle, commencez par les exprimer dans la même unité.
Écrire directement 4/2 sans préciser centimètres et mètres ne donne pas le rapport d’échelle.
Le coefficient dépend du sens choisi :
réel vers dessin ou dessin vers réel.

Les aires ne suivent pas le même facteur que les longueurs.
Si toutes les longueurs sont multipliées par 2, les aires sont multipliées par 4 et les volumes par 8.
À l’échelle 1:50, une aire réelle est 2 500 fois l’aire correspondante sur le dessin, dans la même unité d’aire.
Cela ne contredit pas la proportionnalité directe entre les longueurs ;
il s’agit d’une autre relation.
Reprenez le cours de géométrie si vous confondez le facteur linéaire et son carré ou son cube.

8. Proportionnalité inverse : partager un total fixe

Deux grandeurs sont inversement proportionnelles lorsque leur produit reste constant.
Écrivons x × y = C, donc y = C/x avec x non nul.
Si x double, y est divisé par deux ;
si x triple, y est divisé par trois.
Pour une distance fixée à 120 km et une vitesse constante v, la durée t vérifie v × t = 120.
À 40 km/h, elle vaut 3 h ;
à 60 km/h, 2 h ;
à 80 km/h, 1,5 h.

Le modèle suppose que la distance reste la même et que la vitesse donnée décrit bien tout le trajet étudié.
Ce calcul sert ici d’exemple mathématique, sans constituer une recommandation de conduite.
Un temps d’arrêt supplémentaire changerait la durée totale et pourrait rompre la relation simple.
Dans un partage égal, le même raisonnement apparaît :
24 pièces distribuées dans n boîtes donnent 24/n pièces par boîte lorsque la division correspond à un partage possible.
Le contexte peut donc imposer des valeurs entières en plus de la formule.

9. Tester un produit constant

Pour reconnaître une proportionnalité inverse, calculez les produits des paires correspondantes dans les mêmes unités.
Avec v = 40, 60 et 80 km/h et t = 3, 2 et 1,5 h, les produits valent tous 120 km.
Les quotients t/v ne sont pas constants ;
ce n’est pas un défaut, car le test direct n’est pas celui du modèle inverse.
Écrivez le nom du test à côté de votre calcul :
quotient pour direct, produit pour inverse.

Constater qu’une grandeur diminue quand l’autre augmente ne suffit pas.
La relation y = 10 − x diminue aussi, mais les produits ne sont pas constants :
pour x = 2, y = 8 donne 16 ;
pour x = 4, y = 6 donne 24.
Ce modèle n’est donc pas une proportionnalité inverse.
Vérifiez le produit, pas seulement le sens de variation.
De même, un calcul inverse n’autorise jamais x = 0 :
la formule C/x comporte une division qui doit être définie.

10. Compléter un tableau inverse

Un volume fixé à 240 L est transféré avec un débit constant Q.
La durée t vérifie Q × t = 240 si Q est en L/min et t en minutes.
À 12 L/min, t = 20 min.
À 20 L/min, t = 12 min.
À 30 L/min, t = 8 min.
Pour chercher une nouvelle durée, calculez le total constant, puis divisez ce total par le nouveau débit.
Écrivez toujours l’unité de débit et l’unité de temps avant de multiplier.

Vous pouvez partir directement d’une paire :
t₂ = t₁ × Q₁/Q₂.
Si le débit passe de 12 à 30 L/min, il est multiplié par 2,5 ;
la durée est divisée par 2,5 :
20/2,5 = 8 min.
Dans le tableau, les flèches ont donc des opérations inverses.
Ne multipliez pas également la durée par 2,5, car cela augmenterait le volume transféré au lieu de conserver 240 L.
Le modèle suppose un débit constant et néglige les phases de démarrage ou d’arrêt.

11. Reconnaître une relation avec un terme fixe

Un colis contient n pièces de 0,25 kg et un emballage de 0,4 kg.
Sa masse totale vérifie m = 0,25 × n + 0,4.
Pour 2 pièces, la masse vaut 0,9 kg ;
pour 4 pièces, 1,4 kg.
Doubler le nombre de pièces ne double pas la masse totale.
La masse des pièces seules est directement proportionnelle à n, mais la masse du colis complet ne l’est pas à cause du terme fixe.
Précisez quelle grandeur vous mesurez avant de choisir le modèle.

Une droite sur un graphique ne prouve pas à elle seule une proportionnalité directe.
La relation y = k × x passe par l’origine, tandis que y = k × x + b avec b non nul est une relation affine comprenant un terme fixe.
Pour une proportionnalité inverse positive, le graphique forme une courbe et non une droite décroissante quelconque.
Dans ce cours, nous privilégions les tableaux et les formules :
ils permettent de justifier le choix sans se fier à l’impression visuelle d’un dessin.

12. Choisir le modèle dans un énoncé

Posez trois questions avant de calculer :
quelles sont les deux grandeurs, qu’est-ce qui reste constant, et que se passe-t-il si la première grandeur double ?
Pour des pièces identiques, la masse par pièce reste constante :
le modèle est direct.
Pour une distance fixée, le produit vitesse-durée reste constant :
le modèle est inverse.
Pour une masse avec emballage, une partie fixe s’ajoute :
le modèle total n’est ni directement ni inversement proportionnel au nombre de pièces.
La question du double est un repère, à confirmer par le quotient ou le produit.

Ne supposez pas qu’augmenter le nombre de personnes ou de machines divise automatiquement un temps de travail.
Cela exige que les tâches soient parfaitement partageables, les débits identiques et indépendants, et qu’aucune contrainte commune ne limite le travail.
Un exemple scolaire peut préciser ces hypothèses ;
une installation réelle demande de les vérifier.
Une personne supplémentaire peut ne pas doubler la production.
Ce contre-exemple rappelle qu’un modèle mathématique explique une relation sous conditions, sans promettre un résultat dans toutes les situations.

13. Contrôler le résultat et les unités

Dans le modèle direct, une quantité trois fois plus grande doit donner une valeur trois fois plus grande avec le même coefficient positif.
Dans le modèle inverse positif, elle doit donner une valeur trois fois plus petite avec le même produit.
Vérifiez ensuite numériquement le quotient ou le produit.
Pour 240 L transférés en 8 min à 30 L/min, 30 × 8 = 240 L retrouve le total.
Une durée de 50 min donnerait 1 500 L et signalerait une erreur de sens dans le facteur appliqué.

Une comparaison doit employer les mêmes unités.
Si une durée est en secondes et l’autre en minutes, convertissez avant de comparer leurs facteurs.
Une donnée nulle, une valeur négative interdite par le contexte ou une unité incompatible exige de reprendre les données.
Conservez les fractions dans les calculs intermédiaires et arrondissez seulement à la fin.
Lorsque le résultat compte des objets indivisibles, une valeur non entière peut rendre le partage demandé impossible ;
l’arrondir sans expliquer changerait le problème plutôt que le résoudre.

14. Entraînement guidé et corrections

Cherchez avant la correction.
A :
5 pièces identiques pèsent 1,5 kg ;
quelle masse pour 12 pièces ?
B :
une longueur de 3 cm sur un plan à l’échelle 1:40 représente quelle longueur réelle en cm ?
C :
un total de 180 L est transféré à 15 L/min ;
quelle durée ?
D :
le débit double pour le même total ;
comment change la durée ?
E :
un emballage fixe de 0,2 kg est ajouté ;
la masse totale est-elle directement proportionnelle au nombre de pièces ?
Justifiez le modèle choisi.

Correction A :
1,5/5 = 0,3 kg par pièce ;
12 × 0,3 = 3,6 kg.
B :
3 × 40 = 120 cm.
C :
180/15 = 12 min.
D :
la durée est divisée par deux, à débit constant sur chaque transfert et à total identique.
E :
non, car un terme fixe s’ajoute ;
seul le contenu composé de pièces identiques suit le modèle direct.
Refaites chaque contrôle avec les données initiales :
cela révèle un rapport inversé ou un oubli de conversion.

15. Synthèse et travail dans le carnet

La proportionnalité directe conserve un quotient :
y/x = k pour x non nul, et y = k × x.
La proportionnalité inverse conserve un produit :
x × y = C, et y = C/x pour x non nul.
La même multiplication s’applique aux deux grandeurs dans le modèle direct ;
les opérations sont inverses dans le modèle inverse.
Une relation croissante ou décroissante n’est pas automatiquement proportionnelle.
La présence d’un terme fixe, un changement de section ou un débit variable peut empêcher d’utiliser le modèle simple.

Dans votre carnet, construisez un tableau direct avec trois paires, un tableau inverse avec trois paires et un contre-exemple avec un terme fixe.
Écrivez les unités et calculez le quotient ou le produit à chaque colonne.
Cachez les réponses puis expliquez le choix du modèle à voix haute avant de refaire les calculs.
Vous serez prêt pour la suite lorsque vous pourrez distinguer ce qui varie de ce qui reste constant et défendre votre choix sans vous appuyer uniquement sur une règle de trois mémorisée.