1. Du dessin à la grandeur recherchée

La géométrie décrit des formes et permet de calculer une distance, un contour, une surface ou un volume.
Ces quatre questions sont différentes.
La longueur d’un câble est une distance ;
le bord d’une plaque correspond à un périmètre ;
la partie à peindre correspond à une aire ;
l’espace intérieur d’un réservoir correspond à un volume.
Avant de choisir une formule, écrivez ce que vous cherchez et son unité.
Une réponse en mètres carrés ne peut pas représenter la longueur d’un câble.

Ce cours rassemble les premiers outils nécessaires aux chapitres techniques.
Étudiez-le en plusieurs séances :
d’abord les figures planes, ensuite les volumes, enfin le triangle rectangle et la trigonométrie.
Dessinez chaque exemple et recopiez les longueurs à côté des bons segments.
Les dimensions utilisées sont fictives et les figures sont idéalisées.
Un calcul géométrique ne remplace pas la lecture des plans, des tolérances ou des exigences d’une installation réelle.
L’objectif est de comprendre les grandeurs et les relations avant d’aborder leur utilisation professionnelle.

2. Unités et conversions au carré ou au cube

Une longueur s’exprime par exemple en mm, cm ou m ;
une aire en mm², cm² ou m² ;
un volume en mm³, cm³ ou m³.
Un carré de côté 1 m contient 100 rangées de 100 carrés de côté 1 cm :
1 m² = 10 000 cm².
Pour un cube de côté 1 m, il faut aussi compter 100 couches :
1 m³ = 1 000 000 cm³.
Le facteur de longueur est donc élevé au carré pour une aire et au cube pour un volume.

Convertissez les dimensions avant d’appliquer une formule.
Un rectangle de 0,6 m sur 25 cm devient 0,6 m sur 0,25 m :
son aire est 0,15 m².
Calculer 0,6 × 25 puis annoncer des mètres carrés serait faux.
Pour les capacités, retenez 1 L = 1 dm³ = 0,001 m³ et 1 mL = 1 cm³.
Une capacité intérieure est un volume ;
la masse du contenu dépend aussi de sa nature.
Un litre d’un matériau ne vaut pas automatiquement un kilogramme.

3. Segments, angles et lecture d’une figure

Un segment relie deux points et possède une longueur.
Deux droites perpendiculaires forment un angle droit de 90°.
Deux droites parallèles conservent leur direction commune sans se couper dans le plan.
Un angle plat mesure 180° et un tour complet 360°.
Sur votre dessin, marquez un angle droit avec un petit carré et nommez les sommets.
Ces repères indiquent les propriétés à utiliser.
L’orientation de la feuille n’a aucune importance :
un triangle tourné conserve ses côtés et ses angles.

Un croquis n’est pas forcément à l’échelle.
Ne mesurez pas une longueur sur l’écran pour remplacer une dimension écrite ;
utilisez les données de l’énoncé.
Le symbole d’un diamètre et celui d’un rayon décrivent deux distances différentes.
Une hauteur est souvent une distance perpendiculaire, et non la longueur d’un côté incliné.
Si une propriété indispensable manque, signalez-la au lieu de la deviner à partir de l’apparence.
Pour chaque calcul, notez la propriété qui autorise la formule :
rectangle, triangle rectangle, cylindre droit ou autre modèle indiqué.

4. Rectangle et carré : contour ou aire

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l, le périmètre est P = 2 × (L + l).
On additionne les quatre côtés :
deux longueurs et deux largeurs.
L’aire est A = L × l :
elle compte la surface couverte.
Avec L = 8 cm et l = 3 cm, le périmètre vaut 22 cm et l’aire 24 cm².
Les deux résultats concernent la même figure, mais répondent à deux questions distinctes.
Dessinez le contour pour le périmètre et hachurez l’intérieur pour l’aire.

Un carré est un rectangle dont les quatre côtés ont la même longueur c.
Son périmètre vaut 4c et son aire c².
Pour c = 5 cm, on obtient 20 cm et 25 cm².
Doubler toutes les longueurs double le périmètre mais multiplie l’aire par quatre :
un carré de côté 10 cm a une aire de 100 cm².
Cette comparaison vous aide à contrôler un résultat et rappelle que les unités carrées expriment deux dimensions multipliées, pas une longueur simplement multipliée par deux.

5. Triangle : base et hauteur perpendiculaire

La somme des angles intérieurs d’un triangle est 180°.
Son périmètre est la somme de ses trois côtés.
Pour son aire, choisissez une base b et la hauteur h perpendiculaire à cette base :
A = b × h/2.
Deux triangles identiques peuvent former un parallélogramme de même base et de même hauteur, ce qui explique le facteur 1/2.
Si b = 8 cm et h = 3 cm, l’aire vaut 12 cm².
Elle est la moitié de l’aire du rectangle de base 8 cm et de hauteur 3 cm.

La hauteur peut tomber à l’intérieur du triangle ou sur le prolongement de la base.
Elle n’est pas automatiquement le côté placé verticalement sur le dessin.
Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l’angle droit sont perpendiculaires :
l’un peut servir de base et l’autre de hauteur.
Dans un triangle quelconque, utiliser un côté incliné à la place de h peut donner une aire fausse.
Tracez le pied de la hauteur et marquez son angle droit avant d’introduire les nombres dans la formule.

6. Cercle, disque, rayon et diamètre

Le cercle est le contour ;
le disque comprend l’intérieur.
Le rayon r relie le centre à un point du cercle.
Le diamètre d traverse le centre et relie deux points du cercle :
d = 2r.
La longueur du cercle, appelée circonférence, vaut C = 2πr = πd.
L’aire du disque vaut A = πr².
Le nombre π est sans unité et vaut environ 3,14159 ;
utilisez la touche π de la calculatrice lorsque la consigne ne fournit pas une approximation.

Pour un disque de diamètre 10 cm, le rayon est 5 cm.
Sa circonférence vaut 10π cm, soit environ 31,42 cm ;
son aire vaut 25π cm², soit environ 78,54 cm².
Placer 10 directement dans πr² calculerait l’aire d’un disque de rayon 10 cm, quatre fois plus grande.
Conservez π dans le calcul intermédiaire, puis arrondissez à la fin.
Dans le mini-test, lorsque π = 3,14 est imposé, utilisez exactement cette valeur pour que le résultat attendu soit sans ambiguïté.

7. Aires composées et zones retirées

Une figure composée peut être divisée en rectangles ou triangles dont les intérieurs ne se recouvrent pas.
Additionnez leurs aires pour obtenir l’aire totale.
Si une ouverture est retirée d’une plaque, soustrayez son aire de celle de la plaque complète.
Une plaque rectangulaire de 12 cm sur 8 cm a une aire de 96 cm².
Si elle comporte une ouverture rectangulaire de 3 cm sur 2 cm, l’aire restante vaut 96 − 6 = 90 cm².
Dessinez l’ouverture pour donner un sens à la soustraction.

Une couronne circulaire est la zone comprise entre deux cercles concentriques.
Avec rayon extérieur R et rayon intérieur r, son aire vaut π × (R² − r²), avec R supérieur à r.
Ce n’est pas π × (R − r)² :
la différence des carrés et le carré d’une différence ne sont pas identiques.
Vérifiez les deux rayons avant le calcul.
Pour un contour, les frontières des ouvertures peuvent aussi compter ;
il faut alors lire la question précisément.
Soustraire une aire ne dit pas automatiquement comment calculer le périmètre restant.

8. Volume d’un pavé et d’un cube

Un pavé droit possède trois dimensions perpendiculaires :
longueur L, largeur l et hauteur h.
Son volume vaut V = L × l × h.
Une couche de base L × l est répétée suivant la hauteur :
cette représentation explique la troisième multiplication.
Pour 20 cm, 10 cm et 5 cm, V = 1 000 cm³, soit 1 L.
Un cube de côté c a pour volume c³.
Ne confondez pas ce volume avec l’aire totale de ses faces, qui vaut 6c².

La capacité d’un récipient utilise ses dimensions intérieures.
Des dimensions extérieures incluent l’épaisseur de ses parois et ne donnent pas directement le volume disponible.
Si le récipient n’est pas rempli, la hauteur du liquide remplace la hauteur totale dans le modèle d’un pavé droit.
Toutes les dimensions doivent être dans la même unité avant leur multiplication.
Doubler les trois dimensions multiplie le volume par huit, et non par deux ;
cela fournit un contrôle utile lorsqu’un résultat paraît anormalement petit ou grand.

9. Volume d’un cylindre droit

Un cylindre droit a une base circulaire d’aire πr² et une hauteur h perpendiculaire aux bases.
Son volume vaut V = πr²h.
Pour r = 2 cm et h = 10 cm, V = 40π cm³.
Avec π = 3,14, cela donne 125,6 cm³, soit 125,6 mL.
Si le diamètre est donné, divisez-le par deux pour obtenir r avant de calculer son carré.
Écrivez les trois étapes :
rayon, aire de base, multiplication par la hauteur.

Le volume et la surface latérale répondent à des besoins différents.
Si l’on déroule la paroi latérale idéale du cylindre, on obtient un rectangle de largeur 2πr et de hauteur h :
son aire vaut 2πrh.
Pour un cylindre fermé avec deux bases, l’aire extérieure idéale totale vaut 2πrh + 2πr².
Ces expressions ne donnent pas la capacité.
Commencez par identifier si l’on cherche de l’espace intérieur ou une surface à couvrir.
Ici, nous ne calculons pas l’épaisseur ni la résistance d’une paroi.

10. Pythagore et l’hypoténuse

Dans un triangle rectangle seulement, le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse.
C’est le plus long côté.
Si ses deux autres côtés ont pour longueurs a et b, et l’hypoténuse c, le théorème de Pythagore donne c² = a² + b².
Pour a = 3 cm et b = 4 cm, c² = 9 + 16 = 25 cm², donc c = 5 cm.
La racine carrée revient d’une aire carrée à une longueur ;
additionner directement 3 et 4 donnerait le contour de deux côtés, pas l’hypoténuse.

Pour chercher un côté de l’angle droit, soustrayez le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse.
Avec c = 13 cm et a = 5 cm, b² = 169 − 25 = 144, donc b = 12 cm.
On conserve la racine positive car b est une longueur.
Un nombre négatif sous la racine indique ici des données incompatibles ou une mauvaise identification de l’hypoténuse.
Marquez l’angle droit avant d’utiliser le théorème :
un triangle qui semble presque droit sur un croquis ne suffit pas.

11. Triangle rectangle : opposé et adjacent

Choisissez un angle aigu θ, compris entre 0° et 90°.
Le côté opposé est celui qui ne touche pas cet angle.
Le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui touche θ ;
l’hypoténuse touche aussi θ, mais elle reste identifiée séparément.
Si vous changez d’angle aigu de référence, opposé et adjacent échangent leur rôle.
L’hypoténuse ne change pas.
Il faut donc nommer l’angle choisi avant d’écrire un rapport trigonométrique.

Dessinez un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit valent 3 cm et 4 cm, avec hypoténuse 5 cm.
Choisissez θ face au côté de 3 cm :
le côté opposé vaut 3, l’adjacent 4 et l’hypoténuse 5.
Pour l’autre angle aigu, opposé vaut 4 et adjacent 3.
Ces mots décrivent une relation avec un angle, pas une position absolue sur la page.
Une rotation du dessin ne transforme pas l’adjacent en opposé tant que le même angle reste choisi.

12. Sinus, cosinus et tangente

Dans le triangle rectangle, sin(θ) = opposé/hypoténuse, cos(θ) = adjacent/hypoténuse et tan(θ) = opposé/adjacent.
Ces rapports sont sans unité puisque l’on divise deux longueurs exprimées dans la même unité.
Dans l’exemple 3, 4, 5 avec θ face au côté 3, le sinus vaut 0,6, le cosinus 0,8 et la tangente 0,75.
Écrivez d’abord les noms des côtés, puis leurs valeurs :
cela évite de choisir le rapport uniquement parce que les nombres semblent familiers.

Pour un angle aigu, le sinus et le cosinus sont compris entre 0 et 1, car l’hypoténuse est plus longue que chaque autre côté.
La tangente peut dépasser 1 lorsque l’opposé est plus long que l’adjacent.
La tangente n’est pas le sinus divisé par le nombre de degrés ;
elle vaut sin(θ)/cos(θ).
Les fonctions trigonométriques dépassent ensuite le cadre des triangles rectangles, mais ce cours construit seulement ce premier repère.
Ne mélangez pas les trois définitions avant d’avoir identifié les côtés disponibles et celui recherché.

13. Calculer une longueur avec un angle

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 10 cm et θ vaut 30°.
Le côté opposé vaut 10 × sin(30°) = 5 cm.
Le côté adjacent vaut 10 × cos(30°), soit environ 8,660 cm.
On multiplie ici parce que sin(θ) = opposé/hypoténuse donne opposé = hypoténuse × sin(θ).
Si c’est le côté opposé qui vaut 5 cm, l’hypoténuse vaut 5/sin(30°) = 10 cm.
Le cours sur l’isolement d’une inconnue justifie le choix entre multiplication et division.

Avec un côté adjacent de 4 cm et un angle θ dont la tangente vaut 0,75, le côté opposé vaut 4 × 0,75 = 3 cm.
Vérifiez ensuite par Pythagore si l’hypoténuse est connue.
Réglez la calculatrice en mode degrés pour des angles donnés en degrés ;
en mode radians, taper simplement 30 ne représente pas 30°.
Gardez les chiffres intermédiaires avant d’arrondir.
Une longueur obtenue avec sinus ou cosinus multipliés par l’hypoténuse doit être plus petite que cette hypoténuse pour un angle aigu.

14. Retrouver un angle et contrôler

Si l’opposé vaut 3 cm et l’adjacent 4 cm, tan(θ) = 0,75.
Pour obtenir l’angle, utilisez la fonction réciproque arctan, souvent affichée tan⁻¹ sur la calculatrice :
θ ≈ 36,87° en mode degrés.
Le symbole tan⁻¹ dans ce contexte ne signifie pas 1/tan(θ).
Avec opposé et hypoténuse, utilisez arcsin ;
avec adjacent et hypoténuse, arccos.
Ces fonctions retrouvent ici l’angle aigu qui correspond au rapport mesuré dans un triangle rectangle.

L’autre angle aigu vaut 90° − θ, soit environ 53,13°, parce que l’angle droit et les deux angles aigus totalisent 180°.
Contrôlez aussi les longueurs :
3² + 4² = 5².
Un rapport supérieur à 1 placé dans arcsin ou arccos ne peut pas venir de ces côtés correctement identifiés.
Relisez l’unité, l’angle de référence et la place de l’hypoténuse avant de modifier les nombres.
Les petits écarts d’un contrôle peuvent venir d’un arrondi ;
une incompatibilité importante exige de reprendre la démarche.

15. Entraînement et synthèse de l’unité

Cherchez avant de lire :
A, un triangle de base 12 cm et hauteur perpendiculaire 5 cm ;
B, un disque de diamètre 8 cm avec π = 3,14 ;
C, un pavé de 30 cm sur 20 cm sur 10 cm ;
D, un triangle rectangle avec côtés de l’angle droit 6 cm et 8 cm.
Corrections :
A, aire 30 cm² ;
B, rayon 4 cm, aire 50,24 cm² ;
C, volume 6 000 cm³ = 6 L ;
D, hypoténuse 10 cm.
Expliquez à chaque fois pourquoi l’unité change ou reste une longueur.

Dans votre carnet, dessinez une figure plane, un solide et un triangle rectangle avec angle choisi.
Pour chacun, écrivez la grandeur cherchée, les données converties, la propriété utilisée, la formule et le contrôle.
Vous terminez ici les douze cours de l’unité 2, mais la compréhension se consolide en refaisant les exemples sans correction.
Si un rapport trigonométrique reste confus, reprenez le repérage des côtés avant les calculs.
Si une aire ou un volume est faux, reprenez les dimensions et les unités avant de mémoriser une nouvelle formule.