1. Une équation pose une question

Une égalité affirme que deux expressions ont la même valeur.
Une équation demande quelles valeurs d’une inconnue rendent cette égalité vraie.
Dans 3x + 5 = 20, x représente le nombre recherché.
Si x vaut 2, le membre de gauche vaut 11 :
cette valeur ne convient pas.
Si x vaut 5, le membre de gauche vaut 20 :
cette valeur est une solution.
Le signe égal n’ordonne pas simplement de calculer ;
il impose une condition à vérifier des deux côtés.

Résoudre une équation signifie trouver toutes ses solutions dans le domaine indiqué.
Une formule peut contenir plusieurs lettres connues et une inconnue ;
une équation numérique remplace certaines de ces lettres par des données.
Vous utiliserez les opérations inverses du cours précédent, puis vous apprendrez à regrouper une inconnue présente plusieurs fois.
Écrivez chaque étape sur une nouvelle ligne et dites l’opération appliquée.
Après une longue interruption des études, cette explication est plus utile qu’une vitesse de calcul artificielle.
La vérification fait partie de la solution.

2. Objectifs et prérequis

Vous apprendrez à reconnaître une équation du premier degré à une inconnue, réduire des termes semblables, développer une parenthèse et résoudre lorsque x apparaît dans les deux membres.
Vous distinguerez une solution unique, aucune solution et une identité.
Enfin, vous traduirez un énoncé concret par une équation, puis vérifierez les unités et les contraintes.
Le travail attendu comporte trois éléments :
une égalité correctement modélisée, des transformations justifiées et une conclusion qui répond à la question initiale.

Reprenez les nombres négatifs, les fractions, les priorités et la distributivité.
Vous devez expliquer pourquoi 3 × (x + 2) vaut 3x + 6, et pourquoi −2 × (x − 4) vaut −2x + 8.
Ces calculs portent sur tous les termes de la parenthèse.
Si vous hésitez, testez une valeur simple avant de poursuivre.
Par exemple, avec x = 5, les deux écritures de −2 × (x − 4) donnent −2.
Ce test aide à détecter une erreur ;
il ne remplace pas une justification valable pour toute valeur.

3. Reconnaître le premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue peut se ramener à ax + b = 0 avec a non nul.
La plus grande puissance de l’inconnue est alors 1.
Ainsi, 4x − 7 = 9 et 2(x + 3) = x + 8 entrent dans ce cadre après simplification.
Les nombres peuvent être entiers, décimaux ou fractionnaires.
Une écriture avec des fractions n’est donc pas automatiquement plus élevée en degré.
Ce qui compte est la façon dont l’inconnue intervient, après des transformations admissibles.

En revanche, x² = 9 contient un carré de l’inconnue ;
nous ne la résolvons pas par une simple division pour obtenir x = 9/2.
Une inconnue au dénominateur exige aussi des conditions spécifiques et peut relever d’un autre traitement.
Ici, les dénominateurs utilisés dans la résolution sont des nombres connus non nuls.
Si le coefficient de x devient nul après réduction, examinez l’égalité restante :
elle peut être toujours vraie ou impossible.
Ne forcez pas alors la forme ax + b = 0 avec a non nul.

4. Réduire les termes semblables

Les termes 2x et 3x désignent deux fois et trois fois la même quantité :
leur somme est 5x.
Avec 2x + 3x − x, vous obtenez 4x.
Mais 2x + 3 ne vaut pas 5x :
le terme 3 n’est pas trois fois x.
Regroupez séparément les coefficients de l’inconnue et les nombres seuls.
Dans 2x + 3 + 4x − 5, les termes contenant x donnent 6x et les constantes donnent −2 ;
l’expression devient 6x − 2.

Lisez un signe avec le terme qu’il précède.
Dans 7 − 3x + x, le coefficient total est −3 + 1 = −2 :
l’expression vaut 7 − 2x.
Il ne devient pas positif simplement parce que les termes ont changé de place.
Pour vérifier une réduction, comparez les expressions avec une valeur choisie :
pour x = 2, 7 − 3 × 2 + 2 vaut 3 et 7 − 2 × 2 vaut aussi 3.
Ensuite expliquez la réduction par l’addition des coefficients, car une seule vérification numérique ne prouve pas une identité.

5. Conserver les mêmes solutions

Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres conserve les solutions.
Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul les conserve aussi.
Chaque nouvelle ligne doit donc être équivalente à la précédente.
Partons de x + 7 = 12 :
soustraire 7 donne x + 7 − 7 = 12 − 7, puis x = 5.
Nous n’avons pas déplacé un objet par magie ;
nous avons appliqué une opération identique aux deux expressions.

Multiplier par zéro conserve une égalité déjà vraie, mais efface les informations nécessaires à une résolution équivalente.
À partir de x = 5, cela donnerait 0 = 0, qui est vraie pour toutes les valeurs de x :
on a perdu la condition x = 5.
Diviser par zéro n’est jamais défini.
Ces distinctions expliquent pourquoi il faut écrire la condition « diviseur non nul ».
Un changement de signe isolé, sans opération sur les deux membres, n’est pas une justification.
Votre méthode doit permettre de revenir à la ligne précédente.

6. Résoudre avec une opération puis deux

Pour 4x = 28, divisez les deux membres par 4 :
x = 7.
Pour x/3 = 5, multipliez les deux membres par 3 :
x = 15.
Dans 3x + 5 = 20, commencez par annuler l’addition de 5 :
3x = 15.
Divisez ensuite par 3 :
x = 5.
Cet ordre annule les opérations dans l’ordre inverse de leur application à x.
Il évite d’écrire une division ne portant que sur une partie du membre.

Pour 5 − 2x = 11, soustrayez 5 aux deux membres :
−2x = 6.
Divisez par −2 :
x = −3.
Contrôlez dans l’équation initiale :
5 − 2 × (−3) = 5 + 6 = 11.
Le signe de x vient du coefficient négatif, pas d’un choix arbitraire.
Une solution négative peut être mathématiquement correcte ;
son acceptation dans un problème concret dépend de ce que représente x.
Une température relative peut être négative, mais la longueur d’une pièce dans les exemples suivants doit être positive.

7. Lorsque x apparaît dans les deux membres

Résolvons 5x + 4 = 2x + 19.
Soustrayez 2x aux deux membres :
3x + 4 = 19.
Soustrayez 4 :
3x = 15.
Divisez par 3 :
x = 5.
Le contrôle doit calculer les deux membres initiaux :
5 × 5 + 4 = 29 et 2 × 5 + 19 = 29.
Obtenir la même valeur confirme que x = 5 satisfait l’égalité.
Vérifier seulement 3x = 15 ne contrôlerait pas une éventuelle erreur dans la première transformation.

On aurait pu soustraire 5x d’abord et travailler avec un coefficient négatif.
Une méthode correcte peut donc avoir plusieurs chemins.
Pour débuter, regroupez les termes en x du côté où leur coefficient final est positif, lorsque cela simplifie les signes.
Ce choix est pratique, pas obligatoire.
N’additionnez pas directement 5x et 2x à travers le signe égal.
Les deux membres restent deux expressions distinctes tant qu’une opération justifiée n’a pas été appliquée à chacun.

8. Développer les parenthèses avant de regrouper

Dans 3(x − 2) = 2x + 5, distribuez 3 sur les deux termes de la parenthèse :
3x − 6 = 2x + 5.
Soustrayez 2x :
x − 6 = 5.
Ajoutez 6 :
x = 11.
Vérifiez :
3 × (11 − 2) = 27 et 2 × 11 + 5 = 27.
Écrire seulement 3x − 2 modifierait l’équation et conduirait à une autre réponse.
La parenthèse n’est pas une décoration ;
elle détermine quels termes sont multipliés.

Un signe moins devant une parenthèse représente une multiplication par −1.
Dans 8 − (2x + 3) = 1, écrivez 8 − 2x − 3 = 1, puis 5 − 2x = 1.
Soustrayez 5 :
−2x = −4 ;
divisez par −2 :
x = 2.
Contrôle :
8 − (2 × 2 + 3) = 1.
Garder +3 en retirant la parenthèse serait faux.
Lorsque les signes se multiplient, développez d’abord sur une ligne séparée ;
ne mélangez pas développement, réduction et déplacement mental.

9. Fractions et dénominateurs connus

Résolvons x/3 + 2 = 7.
Soustraire 2 donne x/3 = 5, puis multiplier par 3 donne x = 15.
Pour (x + 2)/3 = 4, multipliez d’abord le membre entier par 3 :
x + 2 = 12, donc x = 10.
Le numérateur est toute la somme x + 2.
Une écriture x + 2/3 représenterait une autre expression.
Conservez la barre de fraction ou les parenthèses tant que vous n’avez pas annulé la division.

Avec x/2 + x/3 = 10, multipliez les deux membres entiers par 6, multiple commun de 2 et 3 :
3x + 2x = 60.
Réduisez :
5x = 60 ;
x = 12.
Contrôle :
12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.
Le nombre 6 est non nul, donc cette multiplication est réversible.
Multiplier seulement le premier terme par 6 romprait l’équivalence.
Si les dénominateurs sont nombreux, écrivez explicitement la multiplication de chaque terme avant de simplifier.

10. Décimaux et précision

Dans 0,4x + 1,2 = 3,2, soustrayez 1,2 :
0,4x = 2.
Divisez par 0,4 :
x = 5.
On peut aussi multiplier toute l’équation initiale par 10 pour obtenir 4x + 12 = 32.
Les deux méthodes donnent la même solution parce que 10 est non nul.
Multiplier seulement les décimaux situés à gauche, ou déplacer une virgule dans un seul terme, ne conserve pas l’équation.
Écrivez l’opération avant de calculer.

Pour 3x = 1, la solution exacte est x = 1/3.
L’écriture x ≈ 0,333 est une approximation, et 3 × 0,333 vaut 0,999.
Cela ne signifie pas que la solution exacte est fausse ;
le contrôle utilise une valeur arrondie.
Conservez les fractions lorsqu’elles restent simples et arrondissez en fin de démarche selon la consigne.
Dans le mini-test, saisissez la valeur demandée sans unité dans le champ numérique :
l’unité éventuelle est affichée à côté.
Une virgule décimale est acceptée.

11. Aucune solution ou une identité

Considérons 2x + 3 = 2x + 8.
Soustraire 2x donne 3 = 8 :
cette égalité est fausse, quelle que soit la valeur de x.
L’équation n’a aucune solution.
Il ne faut ni diviser par zéro ni inventer x = 0.
Contrastez avec 2(x + 3) = 2x + 6 :
après développement et réduction, il reste 6 = 6.
Cette égalité est toujours vraie ;
toutes les valeurs de x dans le domaine de départ conviennent.

Après regroupement, la forme ax = b permet de classer les cas.
Si a est non nul, il existe une solution unique x = b/a.
Si a = 0 et b est non nul, l’égalité est impossible.
Si a = 0 et b = 0, aucune valeur n’est éliminée.
Ce classement vaut ici avec des opérations équivalentes et des coefficients numériques connus.
Le domaine concret peut ensuite restreindre une identité :
si x désigne une longueur, on ne conserve que les valeurs de longueur admises, pas tous les nombres réels sans distinction.

12. Mettre un problème en équation

Un cadre rectangulaire a une longueur de 18 cm et un périmètre de 60 cm.
On cherche sa largeur x, exprimée en centimètres.
Le périmètre comporte deux longueurs et deux largeurs :
2 × (18 + x) = 60.
Divisez par 2 :
18 + x = 30 ;
soustrayez 18 :
x = 12.
La conclusion est « la largeur vaut 12 cm ».
Contrôle :
2 × (18 + 12) = 60 cm.
Le nombre 60 n’est ni l’aire du cadre ni une longueur de côté.

Une réserve contient 7 pièces, puis reçoit 3 boîtes identiques de x pièces chacune.
Le total est 43 pièces.
L’équation 7 + 3x = 43 donne 3x = 36 puis x = 12.
La solution doit être un entier non négatif puisque l’on compte des pièces.
Définir x avant le calcul évite de confondre le nombre de boîtes avec leur contenu.
Dans une situation réelle, vérifiez que les données décrivent bien des boîtes identiques ;
l’équation traduit cette hypothèse, elle ne la prouve pas.

13. Repérer les erreurs et contrôler

Trois erreurs fréquentes changent les solutions :
oublier un terme dans un développement, perdre le signe d’un coefficient et ne transformer qu’un seul membre.
Gardez les lignes intermédiaires pour retrouver la première erreur.
Pour x = 11 dans 3(x − 2) = 2x + 5, calculez séparément chaque membre ;
ne commencez pas le contrôle avec une expression déjà simplifiée.
Un contrôle qui revient aux données et à l’équation initiale est plus indépendant qu’une simple répétition du calcul final.

Une conclusion complète donne la valeur, son unité lorsqu’il y en a une et son admissibilité.
Si l’équation d’une longueur fournit −4 cm, l’algèbre peut être exacte alors que le modèle ou les données ne correspondent pas à la situation.
Une longueur négative ne devient pas positive en effaçant le signe.
Relisez la définition de l’inconnue et le choix de l’équation.
Notez dans le carnet le type d’erreur, puis refaites un exemple différent qui demande la même opération :
cela vérifie que la correction est comprise.

14. Entraînement avec corrections

Cherchez d’abord sans lire la correction.
Exercice A :
4x + 3 = 19.
Exercice B :
7x − 2 = 3x + 10.
Exercice C :
2(x + 4) = 3x + 1.
Exercice D :
(x − 1)/5 = 3.
Exercice E :
4x + 1 = 4x − 2.
Pour chacun, écrivez une opération par ligne et faites un contrôle dans l’équation initiale.
Pour E, ne cherchez pas un nombre avant d’examiner l’égalité restante.

Correction A :
soustraire 3 puis diviser par 4 donne x = 4 ;
4 × 4 + 3 = 19.
Correction B :
4x − 2 = 10, puis 4x = 12, donc x = 3 ;
les deux membres initiaux valent 19.
Correction C :
2x + 8 = 3x + 1 donne x = 7 ;
les deux membres valent 22.
Correction D :
x − 1 = 15 donne x = 16.
Correction E :
1 = −2 est impossible ;
il n’y a aucune solution.

15. Synthèse et carnet

L’ordre de travail est :
définir l’inconnue, identifier le domaine, développer si nécessaire, réduire chaque membre, regrouper les termes en x, isoler puis vérifier.
Une équation n’est pas résolue parce qu’un nombre est écrit sous la dernière ligne.
Il faut que les transformations conservent les solutions et que le nombre satisfasse l’égalité initiale.
Si l’inconnue disparaît, classez l’égalité restante au lieu de diviser par un coefficient nul.
Expliquez ces décisions avec des mots aussi bien qu’avec des signes.

Dans votre carnet, conservez une équation avec x dans les deux membres, une avec parenthèses et un cas sans solution.
Écrivez pourquoi chaque opération est autorisée.
Cachez la correction, puis refaites les trois démarches le lendemain avec de nouvelles valeurs.
Vous pourrez aborder la géométrie lorsque vous savez transformer un périmètre donné en équation et vérifier la longueur obtenue.
Le prochain cours reliera ces calculs aux figures, aux aires, aux volumes et aux premières relations dans un triangle rectangle.