1. Pourquoi transformer une formule ?

Une relation peut servir à chercher plusieurs grandeurs.
E = P × t donne directement l’énergie quand la puissance et la durée sont connues.
Mais si l’énergie et la puissance sont connues, il faut chercher t.
Isoler une inconnue signifie écrire cette grandeur seule d’un côté de l’égalité, avec une expression calculable de l’autre côté.
Nous n’inventons pas une nouvelle relation physique :
nous réorganisons la même égalité en respectant des opérations qui conservent son sens.

Le but n’est pas de retenir « une lettre passe de l’autre côté ».
Une lettre ne se déplace pas spontanément ;
nous effectuons une même opération sur les deux membres.
Cette méthode explique pourquoi un produit devient une division dans une formule transformée, et dans quelles conditions cette division est possible.
Prenez le temps de nommer l’opération à annuler.
Avec une coupure longue dans les études, comprendre ce mécanisme donne une base plus solide que mémoriser plusieurs formules sans lien entre elles.

2. Objectifs et repères avant de commencer

Vous apprendrez à isoler une grandeur dans une somme, une différence, un produit ou un quotient, puis dans une relation comprenant deux opérations successives.
Vous écrirez les conditions nécessaires avant de diviser.
Vous calculerez ensuite avec des unités cohérentes et réintroduirez le résultat dans la formule initiale.
Ce dernier contrôle est essentiel :
une formule transformée peut sembler familière tout en inversant une fraction.
Nous traiterons les équations du premier degré plus largement dans la prochaine leçon.

Vous devez reconnaître les deux membres d’une égalité, les priorités opératoires et les nombres négatifs.
Reprenez aussi la leçon de remplacement :
écrire P = 2 kW et E = 360 kJ n’autorise pas encore à diviser les nombres sans regarder l’unité obtenue.
Pour les premiers exemples, travaillez d’abord avec les lettres ;
effectuez ensuite un calcul numérique distinct.
Garder ces deux étapes séparées permet de réutiliser la formule transformée dans une autre situation, avec d’autres valeurs.

3. Une égalité se conserve des deux côtés

Imaginez une balance équilibrée :
si vous ajoutez la même quantité aux deux côtés, elle reste équilibrée.
Cette image aide à lire les opérations sur une égalité ;
elle n’est pas un modèle complet de toutes les grandeurs physiques.
À partir de x + 3 = 8, soustrayez 3 aux deux membres :
x + 3 − 3 = 8 − 3.
Comme 3 − 3 vaut zéro, il reste x = 5.
Les étapes montrent précisément pourquoi le 3 disparaît du membre de gauche.

Ajouter ou soustraire la même valeur aux deux membres conserve une égalité.
Multiplier les deux membres par une même valeur conserve aussi l’égalité, mais multiplier par zéro efface l’information et ne permet pas de retrouver l’égalité de départ.
Pour une transformation réversible par multiplication ou division, utilisez un facteur non nul.
Diviser par zéro est interdit.
Avant de simplifier un facteur, vérifiez donc qu’il n’est pas nul.
Une condition oubliée peut rendre une formule inutilisable dans un cas pourtant autorisé au départ.

4. Annuler une addition ou une soustraction

Dans y = x + b, la grandeur x est accompagnée de l’addition de b.
Pour annuler cette addition, soustrayez b aux deux membres :
y − b = x + b − b, donc x = y − b.
Avec y = 15 mm et b = 4 mm, x = 11 mm.
Vérifiez :
11 + 4 = 15.
La soustraction annule l’addition, et non parce que le symbole aurait changé de signe au cours d’un déplacement imaginaire.

Dans y = x − b, ajoutez b aux deux membres :
y + b = x − b + b, donc x = y + b.
Avec y = 11 mm et b = 4 mm, x = 15 mm.
L’ordre importe si l’inconnue est elle-même soustraite :
pour y = a − x, ajoutez x aux deux membres puis soustrayez y.
Vous obtenez x = a − y.
Écrire x = y − a serait une inversion erronée ;
la vérification numérique met cette erreur en évidence.

5. Annuler une multiplication

Dans y = a × x, x est multiplié par a.
Si a n’est pas nul, divisez les deux membres par a :
y/a = (a × x)/a.
Le facteur a se simplifie et il reste x = y/a.
Exemple :
un rectangle d’aire A = 0,24 m² a une longueur L = 0,8 m.
Avec A = L × l et L non nulle, la largeur est l = A/L = 0,24/0,8 = 0,3 m.
Le contrôle 0,8 × 0,3 = 0,24 retrouve l’aire.

Une division par 0,8 peut donner une valeur numérique plus grande que le dividende :
0,24/0,8 = 0,3.
Ne rejetez pas automatiquement ce résultat parce que « diviser diminue ».
Le comportement dépend du diviseur et des unités.
Ici, une aire divisée par une longueur donne une longueur ;
comparer directement la taille numérique de 0,24 m² et de 0,3 m ne compare pas deux grandeurs de même nature.
La règle des unités et le contrôle par multiplication sont plus fiables que cette intuition.

6. Annuler une division avec l’inconnue au numérateur

Dans y = x/a, avec a non nul, x est divisé par a.
Multipliez les deux membres par a :
a × y = a × (x/a), donc x = a × y.
Avec v = d/t et t strictement positif, multipliez par t :
v × t = d.
La distance s’écrit donc d = v × t.
Pour une vitesse moyenne de 0,25 m/s sur une durée de 72 s, d = 0,25 × 72 = 18 m.
Il faut utiliser la moyenne correspondant exactement à cette durée.

La multiplication par le dénominateur annule ici la division parce que toute l’expression x est divisée par a.
Dans y = x/a + b, il reste l’addition de b :
vous devrez la retirer avant d’isoler x, ou multiplier tout le membre de droite si vous choisissez une autre méthode correcte.
Multiplier seulement x/a et oublier b casse l’égalité.
Le groupe entier de chaque membre reçoit l’opération.
Les parenthèses sont vos repères lorsque plusieurs termes apparaissent dans un même membre.

7. Quand l’inconnue est au dénominateur

À partir de v = d/t, cherchons t.
La relation initiale demande t non nul ;
pour une durée physique dans ce cours, t est strictement positif.
Multipliez les deux membres par t :
v × t = d.
Si v n’est pas nul, divisez ensuite par v :
t = d/v.
Avec d = 18 m et v = 0,25 m/s, t = 18/0,25 = 72 s.
Écrire t = v/d donnerait ici une unité inverse du temps et ne respecterait pas les opérations effectuées.

Le cas v = 0 mérite une lecture séparée.
Si d = 0 sur une durée positive, v = d/t = 0 quelle que soit cette durée ;
on ne peut donc pas déterminer t avec ces seules données.
La formule t = d/v serait alors une division 0/0, qui n’est pas définie.
Si la distance parcourue est positive, une vitesse moyenne de parcours nulle est incompatible avec une durée positive finie dans ce modèle.
Analyser un cas nul évite de transformer une condition mathématique en résultat physique absurde.

8. Exemple complet : chercher une puissance

Un appareil reçoit 72 kJ pendant 120 s.
Cherchons sa puissance moyenne sur cette période.
La relation est E = P × t.
Comme t est positif, divisez les deux membres par t :
E/t = P, donc P = E/t.
Convertissez l’énergie :
E = 72 000 J.
Le calcul donne P = 72 000/120 = 600 W.
La puissance moyenne ainsi obtenue décrit cette période ;
elle ne signifie pas que la puissance instantanée est restée exactement égale à 600 W à chaque instant.

Vérifiez avec la relation initiale :
600 W × 120 s = 72 000 J = 72 kJ.
Vérifiez également le sens :
sur une durée deux fois plus longue, recevoir la même énergie demanderait une puissance moyenne deux fois plus faible.
Si vous aviez obtenu 72/120 = 0,6 en utilisant des kJ et des secondes, l’unité serait kJ/s, soit kW :
0,6 kW = 600 W.
Le nombre 0,6 seul n’est donc pas une erreur ;
l’annoncer en watts serait l’erreur.

9. Exemple complet : chercher une durée

On souhaite transférer 360 kJ avec une puissance constante de 2 kW.
Avec E = P × t et P non nulle, la durée est t = E/P.
En unités SI :
E = 360 000 J et P = 2 000 W.
Alors t = 360 000/2 000 = 180 s, soit 3 min.
Le contrôle 2 000 × 180 = 360 000 retrouve l’énergie.
Le calcul porte sur une puissance constante correspondant au transfert demandé, pas sur une valeur nominale dont le sens n’aurait pas été précisé.

On peut conserver kJ et kW puisque 1 kW = 1 kJ/s :
360 kJ / 2 kW = 180 s.
Ce choix cohérent est pratique, mais ne le généralisez pas à tous les mélanges de préfixes.
Avec des kWh et des kW, E/P donnerait des heures.
Dans votre carnet, écrivez à côté de chaque exemple pourquoi le quotient donne des secondes ou des heures.
Cette explication vous permettra de reconnaître une bonne association d’unités sans dépendre d’une formule apprise isolément.

10. Exemple complet : chercher une surface

Dans un modèle de pression moyenne p = F/A, la surface A est au dénominateur.
Multipliez par A :
p × A = F.
Si p est non nulle, divisez par p :
A = F/p.
Pour F = 600 N et p = 150 kPa, convertissez p = 150 000 Pa.
Alors A = 600/150 000 = 0,004 m².
Comme 1 m² = 10 000 cm², cela représente 40 cm².
Le calcul apprend à utiliser une relation ;
il ne remplace pas l’analyse d’un contact ou d’un dispositif réel.

Le contrôle retrouve p = 600/0,004 = 150 000 Pa.
Une pression plus grande pour une même force correspond à une surface plus petite.
Si vous aviez écrit A = p/F, les unités seraient Pa/N = 1/m², et non m².
Un contrôle d’unité peut donc repérer cette inversion avant même le calcul.
Attention :
la surface totale d’un objet n’est pas automatiquement sa surface de contact.
Choisir la bonne grandeur reste une étape distincte de l’isolement algébrique.

11. Annuler plusieurs opérations dans l’ordre inverse

Considérez y = a × x + b, avec a non nul.
En partant de x, la formule multiplie d’abord par a, puis ajoute b.
Pour revenir à x, annulez d’abord la dernière opération :
soustrayez b aux deux membres.
Il reste y − b = a × x.
Divisez ensuite par a :
x = (y − b)/a.
Les parenthèses indiquent que toute la différence y − b est divisée par a.
L’expression y − b/a est différente.

Avec y = 20, a = 3 et b = 5, x = (20 − 5)/3 = 15/3 = 5.
Le contrôle donne 3 × 5 + 5 = 20.
Sans les parenthèses, 20 − 5/3 donnerait environ 18,33 et ne satisferait pas la relation.
Cette méthode est celle d’une chaîne d’opérations parcourue à l’envers.
N’appliquez pas une annulation à un seul terme choisi au hasard :
chaque étape doit produire une égalité équivalente à la précédente, avec les mêmes valeurs admissibles de l’inconnue.

12. Travailler avec une somme regroupée ou un signe négatif

Pour L_total = a + n × b, retirez d’abord a :
L_total − a = n × b.
Avec n non nul, b = (L_total − a)/n.
Prenons L_total = 2,2 m, a = 0,4 m et n = 3 :
b = (2,2 − 0,4)/3 = 0,6 m.
Le facteur n compte trois segments identiques ;
il est sans unité.
Le reste 1,8 m est partagé entre ces trois segments.
La formule transformée retrouve donc un raisonnement concret de partage égal.

Pour y = 5 − 2x, soustrayez 5 :
y − 5 = −2x.
Divisez ensuite par −2, qui est non nul :
x = (y − 5)/(−2).
On peut aussi écrire x = (5 − y)/2.
Pour y = 11, la première forme donne (11 − 5)/(−2) = −3 ;
le contrôle 5 − 2 × (−3) = 11 réussit.
Diviser par un nombre négatif demande de respecter la règle des signes ;
il ne suffit pas d’effacer le signe − pour retrouver une valeur positive.

13. Conditions d’existence et vérification

Dans y = a × x + b, la formule x = (y − b)/a suppose a non nul.
Si a = 0, la relation devient y = b :
x n’a plus d’influence.
Si y = b, toutes les valeurs de x admises par le contexte conviennent ;
il n’y a pas une solution unique.
Si y est différent de b, aucune valeur de x ne convient.
Cet examen explique pourquoi « je divise toujours par le coefficient »
n’est pas une méthode valable sans condition.

Les conditions mathématiques ne remplacent pas les conditions physiques.
Une largeur géométrique ou une durée étudiée ici doit être positive.
Une transformation peut fournir une valeur négative qui est correcte algébriquement mais incompatible avec les données décrivant l’objet.
Il faut alors rechercher une incohérence dans l’énoncé, les valeurs ou le modèle.
Nous ne transformons pas les relations comportant x² ou des fonctions trigonométriques dans ce cours :
ces cas exigent d’autres opérations et parfois plusieurs solutions.
Le prochain cours consolidera le premier degré.

La vérification la plus utile réutilise la formule initiale avec la valeur trouvée.
Après x = (20 − 5)/3 = 5, vérifiez 3 × 5 + 5 = 20.
Refaire deux fois (20 − 5)/3 confirme seulement la répétition du même calcul ;
cela ne garantit pas que la formule transformée était correcte.
Conservez aussi les unités et les conditions.
Une bonne vérification doit pouvoir échouer si vous avez inversé une fraction, omis une parenthèse ou changé un signe.

Rédigez votre démarche sous quatre lignes :
relation de départ ;
opérations appliquées aux deux membres ;
remplacement numérique avec unités ;
contrôle et conclusion.
Pour chaque division, écrivez « avec le diviseur non nul ».
Distinguez une égalité exacte d’une approximation arrondie.
Si une valeur intermédiaire vaut 1/3, conservez cette fraction ou plusieurs chiffres dans la calculatrice ;
arrondir trop tôt peut faire échouer un contrôle pourtant correct.
Le sens de la grandeur obtenue doit figurer dans la conclusion, pas seulement dans le titre du calcul.

14. Entraînement guidé : chercher avant de regarder

Exercice A :
isolez l dans A = L × l, puis calculez l pour A = 0,18 m² et L = 0,6 m.
Exercice B :
isolez x dans y = 4x + 2, puis utilisez y = 18.
Exercice C :
isolez t dans d = v × t, puis utilisez d = 90 m et v = 1,5 m/s.
Pour chaque cas, indiquez le diviseur et sa condition.
Écrivez ensuite le contrôle dans la relation initiale.
Ne commencez pas par deviner la réponse avec les nombres.

Correction A :
L non nul ;
l = A/L = 0,18/0,6 = 0,3 m ;
0,6 × 0,3 = 0,18 m².
Correction B :
soustraire 2, puis diviser par 4 ;
x = (18 − 2)/4 = 4 ;
4 × 4 + 2 = 18.
Correction C :
v non nulle ;
t = d/v = 90/1,5 = 60 s ;
1,5 × 60 = 90 m.
Les trois contrôles réutilisent la relation initiale avec la nouvelle valeur.

15. Synthèse et travail dans le carnet

Pour isoler une inconnue, annulez ce qui lui est appliqué en utilisant des opérations inverses sur les deux membres.
Annulez une addition par une soustraction, une multiplication non nulle par une division, et une division admissible par une multiplication.
Avec plusieurs opérations, commencez généralement par la dernière appliquée à l’inconnue.
Gardez les parenthèses autour d’une somme ou d’une différence divisée.
Ne confondez pas une transformation justifiée avec une règle de déplacement mémorisée sans explication.

Dans votre carnet, construisez trois couples :
E = P × t et t = E/P ;
v = d/t et d = v × t ;
y = ax + b et x = (y − b)/a.
Ajoutez les conditions nécessaires et un exemple numérique vérifié pour chacun.
Refaites un cas avec une valeur négative pour contrôler les signes.
Poursuivez lorsque vous pouvez expliquer chaque opération à voix haute.
La prochaine leçon abordera les équations du premier degré, notamment lorsque l’inconnue apparaît dans plusieurs termes ou dans les deux membres.