1. Puissances, racines carrées et notation scientifique

Une puissance abrège une multiplication répétée.
Une racine carrée retrouve le côté d’un carré à partir de son aire.
La notation scientifique utilise les puissances de dix pour écrire clairement des nombres très grands ou très petits.
Ces trois notions partagent des liens, mais ne désignent pas la même opération.
Nous commencerons avec de petits nombres et des carrés dessinés, avant de passer aux mesures.
Vous pourrez revenir aux fractions et aux priorités dès qu’une étape semble difficile.

2. Objectif de la leçon

Vous apprendrez à nommer la base et l’exposant, à développer une puissance et à expliquer les exposants zéro et négatifs pour une base non nulle.
Vous distinguerez un carré d’une racine carrée, calculerez des racines exactes simples et encadrerez une racine non entière.
Vous convertirez un nombre vers la notation scientifique et dans l’autre sens en conservant son unité.
Nous travaillons ici avec les nombres réels ;
les racines carrées de nombres négatifs ne sont pas définies dans ce cadre.

3. Comprendre les symboles

Nous écrivons 2^3 pour « deux puissance trois »
:
cela signifie 2 × 2 × 2 = 8.
Le signe ^ indique que le nombre suivant est l’exposant, normalement écrit en petit au-dessus de la base.
La base est 2 ;
l’exposant est 3 et indique trois facteurs égaux à deux.
2^3 ne signifie donc ni 2 × 3 ni 2 + 3.
Pour un exposant entier positif, comptez les facteurs, pas les signes de multiplication :
trois facteurs nécessitent deux signes ×.

Le carré d’un nombre est sa puissance deux :
4^2 = 4 × 4 = 16.
Son cube est sa puissance trois :
4^3 = 64.
Le symbole √ se lit « racine carrée ».
√16 = 4, car quatre est le nombre non négatif dont le carré vaut seize.
Même si (−4)^2 vaut aussi seize, le symbole √16 désigne seulement la racine non négative.
Résoudre « quel nombre a pour carré seize ? »
peut demander deux réponses, 4 et −4 ;
calculer √16 n’en demande qu’une.

4. Voir un carré et les puissances de dix

Le dessin contient quatre lignes de quatre carrés unités, donc 16 carrés unités.
Un grand carré de côté quatre unités a une aire de 16 unités carrées.
Passer du côté à l’aire utilise le carré ;
passer de l’aire au côté utilise la racine carrée.
Si le côté est mesuré en centimètres, l’aire est en centimètres carrés, écrits cm².
Une aire de 16 cm² donne un côté de quatre centimètres, et non de quatre centimètres carrés.

En descendant d’une ligne, l’exposant diminue de un et la valeur est divisée par dix.
À partir de dix, on obtient un, puis un dixième, puis un centième.
Cette continuité explique le sens de l’exposant zéro et des exposants négatifs.
Un exposant négatif n’annonce pas une valeur négative :
10^(−2) vaut un centième positif.

5. Explication progressive

Étape 1 — Développer et respecter les parenthèses

Pour 3^4, écrivez quatre facteurs :
3 × 3 × 3 × 3 = 81.
Pour (−3)^2, la base entière est −3 :
(−3) × (−3) = 9.
En revanche, −3^2 signifie l’opposé de 3^2, donc −9, car la puissance est calculée avant le signe moins extérieur.
Pour (−3)^3, trois facteurs négatifs donnent −27.
Relisez toujours les parenthèses :
elles déterminent si le signe appartient à la base.

Étape 2 — Expliquer zéro et l’inverse

Pour une base non nulle, diminuer l’exposant de un revient à diviser par la base :
2^3 = 8, 2^2 = 4, 2^1 = 2, puis 2^0 = 1.
En continuant, 2^(−1) = 1/2 et 2^(−2) = 1/4.
Plus généralement, a^(−n) = 1/(a^n) pour a non nul et n entier positif.
L’exposant négatif commande un inverse ;
il ne place pas un signe moins devant la valeur.
Pour zéro, 0^3 = 0, mais nous n’utilisons pas 0^0 et les puissances négatives de zéro demanderaient une division par zéro.

Étape 3 — Relier les règles aux facteurs

Pour une même base, 2^3 × 2^2 contient trois facteurs deux puis deux autres :
cinq facteurs en tout, donc 2^5 = 32.
Les exposants s’additionnent.
Dans 2^5 ÷ 2^2, deux facteurs se simplifient et il reste 2^3 = 8 :
les exposants se soustraient, avec une base non nulle pour la division.
Pour (2^3)^2, deux groupes de trois facteurs donnent six facteurs :
2^6 = 64.
Ne transposez pas ces règles à une addition :
2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12, pas 2^5.

Étape 4 — Chercher et contrôler une racine

Mémorisez progressivement les carrés :
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100 correspondent aux nombres de zéro à dix.
Pour √49, cherchez le nombre non négatif dont le carré vaut 49 :
c’est sept.
Contrôlez 7 × 7 = 49.
Pour √0,25, 0,5 × 0,5 = 0,25, donc la racine vaut 0,5.
Une racine n’est pas une division par deux :
√36 vaut six et non dix-huit.

Pour √20, 4^2 = 16 et 5^2 = 25 ;
la racine est donc entre quatre et cinq.
Une calculatrice donne environ 4,4721, mais ces chiffres ne constituent pas une égalité exacte avec √20.
Au centième, on écrit √20 ≈ 4,47.
Vérifier 4,47^2 = 19,9809 montre l’effet de l’arrondi.
Enfin, √(9 + 16) = √25 = 5, tandis que √9 + √16 = 3 + 4 = 7 :
la racine d’une somme n’est pas la somme des racines.

Étape 5 — Construire la notation scientifique

La notation scientifique normalisée d’un nombre positif s’écrit c × 10^n, où 1 ≤ c < 10 et n est un entier.
Pour 45 000, choisissez 4,5 comme coefficient :
4,5 × 10^4 = 4,5 × 10 000 = 45 000.
Pour 0,0045, choisissez encore 4,5 :
4,5 × 10^(−3) = 4,5 × 0,001 = 0,0045.
Le coefficient garde les chiffres utiles et la puissance de dix indique leur échelle.
Pour un nombre négatif, placez le signe devant le coefficient ;
la valeur absolue de celui-ci reste entre un inclus et dix exclu.

Comptez les positions en vérifiant la multiplication, plutôt que mémoriser un déplacement sans sens.
Pour 0,00072, le coefficient est 7,2 et le facteur est 0,0001, donc 10^(−4).
Pour 720 000, le coefficient est 7,2 et le facteur est 100 000, donc 10^5.
72 × 10^4 représente aussi 720 000, mais n’est pas une notation scientifique normalisée, car 72 dépasse dix.
Le nombre zéro ne possède pas de coefficient normalisé non nul ;
on écrit simplement zéro.

6. Exemples et lecture d’un écran

Un écran peut afficher 4.5E3 pour 4,5 × 10^3, soit 4 500.
La lettre E indique une puissance de dix dans cette écriture ;
elle ne désigne pas ici une unité.
L’affichage 4.5E−3 correspond à 0,0045.
Certains écrans utilisent un point comme séparateur décimal.
Lisez séparément le coefficient, le signe de l’exposant et l’unité de la mesure.
Une puissance négative réduit l’échelle pour une base dix positive, tandis qu’un coefficient négatif change le signe du nombre.

Pour comparer 3 × 10^4 et 8 × 10^3, revenez à 30 000 et 8 000 :
le premier est plus grand malgré son coefficient trois plus petit que huit.
Si les puissances sont identiques, comparez les coefficients.
Si les unités diffèrent, convertissez avant de conclure.
La notation scientifique change l’écriture, pas la grandeur ni l’unité ;
elle ne transforme pas automatiquement des mètres en millimètres.

7. Application industrielle

Dans un exercice fictif, une plaque carrée possède une aire de 144 cm².
Son côté vaut √144 = 12 cm.
Si l’on double ce côté, le nouveau côté vaut 24 cm et l’aire devient 24^2 = 576 cm², quatre fois l’aire initiale.
L’aire ne double pas parce que les deux dimensions du carré ont été doublées.
Ce modèle décrit seulement la géométrie ;
il ne suffit pas à déterminer la résistance ou la sécurité d’une plaque réelle.

Une mesure fictive de 0,00035 m s’écrit 3,5 × 10^(−4) m.
Pour revenir à l’écriture ordinaire, multipliez 3,5 par 0,0001.
L’unité reste le mètre.
Ne retirez pas le signe moins de l’exposant :
3,5 × 10^4 m vaudrait 35 000 m, une échelle complètement différente.
La vérification de l’ordre de grandeur permet de repérer cette erreur avant d’utiliser une mesure dans un calcul.

8. Vocabulaire essentiel

• La base : le nombre répété dans une puissance. Exemple : deux dans 2^3.

• L’exposant : le nombre qui indique la puissance. Exemple : trois facteurs dans 2^3.

• Le carré : la puissance deux d’un nombre. Exemple : 5^2 = 25.

• La racine carrée : le nombre non négatif dont le carré vaut la valeur donnée. Exemple : √25 = 5.

• La notation scientifique : une écriture normalisée avec une puissance de dix. Exemple : 2,5 × 10^3 = 2 500.

9. Points de vigilance

Ne remplacez pas une puissance par base × exposant.
Gardez les parenthèses d’une base négative.
Ne confondez pas exposant négatif et résultat négatif.
N’appliquez pas les règles de multiplication des puissances à une addition.
Ne donnez pas deux valeurs au symbole √.
En notation scientifique, vérifiez que le coefficient normalisé respecte sa taille et que l’exposant possède le bon signe.
Distinguez une valeur exacte d’un arrondi et conservez les unités.

10. Exercice résolu

Une surface carrée de 0,0009 m² est donnée dans un exercice.
Trouvez son côté et écrivez-le en notation scientifique.
On cherche un nombre non négatif dont le carré vaut 0,0009.
Puisque 0,03 × 0,03 = 0,0009, le côté vaut 0,03 m.
Il s’écrit 3 × 10^(−2) m.
L’aire donnée peut aussi s’écrire 9 × 10^(−4) m² :
son exposant n’est pas celui du côté, puisque le calcul d’aire multiplie deux longueurs.

Vérifiez le sens inverse :
(3 × 10^(−2))^2 = 9 × 10^(−4), donc 0,0009.
Le côté a une unité de longueur et la surface une unité d’aire.
Un résultat de 0,00045 obtenu en divisant la surface par deux n’aurait aucune justification pour trouver ce côté.
Rédigez :
« Le côté du carré vaut exactement 0,03 m, soit 3 × 10^(−2) m. »
La mesure reste fictive et aucune tolérance de fabrication n’est déduite de ce calcul.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé : développez 5^3, puis expliquez 5^0 et 5^(−1) en descendant les exposants. Écrivez la division qui relie chaque ligne à la suivante.

Voir la correction

5^3 = 125 ; diviser par cinq donne 5^2 = 25, puis 5^1 = 5, puis 5^0 = 1, puis 5^(−1) = 1/5 = 0,2. La base cinq est non nulle, donc chaque division est possible.

Travail autonome :
A.
Comparez (−2)^4 et −2^4.
B.
Calculez √81 et √0,04.
C.
Encadrez √50 entre deux entiers consécutifs.
D.
Écrivez 62 000 et 0,00062 en notation scientifique.
E.
Revenez à l’écriture ordinaire pour 7,8 × 10^(−3).
Justifiez chaque résultat au lieu de donner seulement le nombre.

Voir la correction

A.
(−2)^4 = 16, tandis que −2^4 = −16.
B.
√81 = 9 et √0,04 = 0,2, car leurs carrés redonnent les valeurs initiales.
C.
7^2 = 49 et 8^2 = 64 :
√50 est entre sept et huit.
D.
6,2 × 10^4 et 6,2 × 10^(−4).
E.
7,8 × 0,001 = 0,0078.
Vérifiez le nombre de positions et le signe de l’exposant.

12. Résumé de la méthode

Pour une puissance entière positive, développez les facteurs.
Pour un exposant négatif et une base non nulle, prenez l’inverse de la puissance positive correspondante.
Pour une racine carrée, cherchez le nombre non négatif et vérifiez son carré ;
encadrez si le résultat n’est pas exact.
Pour la notation scientifique, choisissez un coefficient normalisé puis la puissance de dix qui reconstruit le nombre.
Contrôlez les parenthèses, le signe, les unités et l’ordre de grandeur.

13. Les cinq mots à retenir

Retenez base, exposant, carré, racine carrée et notation scientifique.
Pour chaque mot, écrivez un exemple et lisez-le à voix haute en français :
« deux puissance trois », « quatre au carré », « racine carrée de seize ».
Pour 3 × 10^(−2), dites « trois fois dix puissance moins deux ».
Cette lecture évite de prendre un exposant pour une multiplication ordinaire.

14. Mini-test expliqué

Écrivez le développement ou la vérification sur une feuille avant de répondre.
Pour les questions numériques, saisissez une valeur ordinaire avec virgule ou point ;
vous n’avez pas besoin de saisir le signe ^ ou une racine.
Pour le choix de notation scientifique, vérifiez à la fois la valeur reconstruite et la taille du coefficient.

15. Continuer et réviser

Cette leçon termine les douze cours de la première unité.
Reprenez une erreur en développant la puissance, en vérifiant le carré ou en reconstruisant le nombre scientifique.
Revenez aux signes et parenthèses, aux fractions ou aux décimaux selon l’étape qui bloque.
Avant de poursuivre, expliquez sans aide pourquoi 2^(−3) est positif et pourquoi √16 vaut quatre.
Les cours de la première unité restent disponibles pour réviser pendant la suite du parcours.