1. Les pourcentages

Un pourcentage exprime une proportion avec une référence de cent.
Dire que 25 % des pièces d’un lot sont bleues signifie que les pièces bleues représentent un quart du lot.
Cela ne signifie pas forcément qu’il y a 25 pièces bleues :
leur nombre dépend du total.
Nous allons toujours nommer ce total, puis apprendre à retrouver une partie, un taux ou une valeur initiale.
Gardez une feuille pour écrire ce que représente chaque nombre.

2. Objectif de la leçon

Vous apprendrez à relier pourcentage, fraction et nombre décimal, à calculer une partie d’un total et à exprimer une partie en pourcentage.
Vous calculerez une augmentation ou une diminution en distinguant la variation et la valeur finale.
Vous retrouverez une valeur initiale simple, puis expliquerez pourquoi deux variations successives ne se compensent pas nécessairement.
Le choix de la base de calcul est aussi important que la multiplication.

3. Comprendre la référence de cent

Le symbole % se lit « pour cent ».
Ainsi 25 % = 25/100 = 1/4 = 0,25.
Le nombre 0,25 est le coefficient qui transforme le total en sa partie de 25 %.
Pour un lot de 80 pièces, un quart vaut 20 pièces ;
pour un lot de 200 pièces, il vaut 50 pièces.
La proportion reste identique, mais le nombre de pièces change avec le total.
Un taux sans base clairement nommée est une information incomplète.

Dans cet exemple, le lot entier représente 100 %.
La moitié représente 50 %, un dixième 10 % et un centième 1 %.
Une proportion peut aussi dépasser 100 % si elle compare une quantité à une référence :
une production de 150 pièces représente 150 % d’un objectif de 100 pièces.
En revanche, la part des pièces bleues incluses dans un lot ne peut pas dépasser 100 % de ce même lot.
Le sens de la situation détermine les valeurs possibles.

4. Voir les parts du total

La grille contient 100 cases égales ;
75 sont colorées.
La partie colorée représente donc 75/100 = 0,75 = 75 %.
Les 25 cases restantes représentent 25 %.
Ensemble, les deux parties reconstituent 100 % du même tout.
Si cette grille représente un lot de 400 pièces, une case représente quatre pièces :
75 cases correspondent alors à 300 pièces.
Une case ne représente une pièce que lorsque le total est 100 pièces.

5. Explication progressive

Étape 1 — Passer du taux au coefficient

Pour utiliser 12 % dans une multiplication, divisez 12 par 100 :
12 % = 0,12.
Pour 2,5 %, calculez 2,5 ÷ 100 = 0,025.
Pour 0,5 %, le coefficient est 0,005, et non 0,5.
Dans l’autre sens, multipliez le coefficient par 100 pour obtenir le nombre placé devant % :
0,08 correspond à 8 %.
Écrire 12 % = 12 serait faux :
cela remplacerait douze centièmes par douze unités.

Étape 2 — Calculer une partie

Pour trouver 15 % de 240 pièces, calculez 240 × 15/100 = 36 pièces.
Vous pouvez aussi décomposer :
10 % de 240 valent 24, et 5 % valent la moitié de 24, soit 12 ;
24 + 12 = 36.
Les deux méthodes décrivent la même partie.
La règle de trois donne le même raisonnement :
100 % correspondent à 240 pièces, donc 1 % correspond à 2,4 pièces et 15 % à 36 pièces.
Le résultat reprend l’unité du total.

Étape 3 — Trouver le taux d’une partie

Si 18 pièces sur 300 sont rejetées dans un exemple fictif, la fraction rejetée est 18/300 = 0,06.
Pour l’exprimer en pourcentage, calculez 0,06 × 100 = 6 %.
Le total de référence est ici toutes les pièces contrôlées, y compris les rejetées.
Diviser 18 par les 282 pièces acceptées répondrait à une autre question :
comparer les rejets aux pièces acceptées.
La formule est taux en pourcentage = partie ÷ total × 100, avec un total non nul.

Étape 4 — Distinguer variation et valeur finale

Une augmentation de 10 % d’une quantité initiale de 200 vaut 200 × 0,10 = 20.
La quantité finale est 200 + 20 = 220, et non 20.
On peut réunir les étapes :
200 × (1 + 0,10) = 200 × 1,10 = 220.
Le coefficient 1 conserve les 100 % initiaux ;
le 0,10 ajoute les 10 % supplémentaires.
Pour une diminution de 10 %, on conserve 90 % :
200 × 0,90 = 180.
Le coefficient de diminution est 1 − 0,10.

Pour une hausse de 2,5 %, le coefficient final est 1,025.
Pour une baisse de 25 %, il est 0,75.
Avant de calculer, dites si vous cherchez le montant de la variation ou la valeur après variation.
Une baisse de 100 % laisse zéro ;
une baisse supérieure à 100 % produirait une valeur négative avec cette formule et ne convient pas au prix non négatif d’un objet dans nos exemples.
Les formules doivent rester liées au sens de la grandeur.

Étape 5 — Retrouver la base

Si 30 pièces représentent 15 % d’un lot, appelons T le total.
On sait T × 0,15 = 30.
On inverse la multiplication :
T = 30 ÷ 0,15 = 200 pièces.
Le total est plus grand que sa partie, ce qui est cohérent.
Pour retrouver un prix initial après une remise de 20 %, le prix final représente 80 % du prix initial.
Si le prix final est 80 euros, le prix initial vaut 80 ÷ 0,80 = 100 euros.
Ajouter 20 % de 80 donnerait 96 euros et ne retrouverait pas la base.

Vérifiez toujours dans le sens direct :
200 × 0,15 = 30 et 100 × 0,80 = 80.
Retrouver un total à partir d’un taux de 0 % serait impossible par cette division :
toute base multipliée par zéro donne zéro.
De même, un prix après une remise de 100 % ne permet pas de retrouver le prix initial.
La division par le coefficient exige un coefficient non nul et des données compatibles avec le modèle annoncé.

6. Exemples et changements de base

Deux variations successives se calculent sur deux bases successives.
Un prix de 100 euros augmente de 20 % :
il devient 120 euros.
Puis il baisse de 20 % de sa nouvelle valeur :
la baisse vaut 24 euros, et le prix devient 96 euros.
Le calcul complet est 100 × 1,20 × 0,80 = 96.
Les taux de +20 % et −20 % ne s’annulent pas, car leurs bases diffèrent.
Pour revenir de 120 à 100, la baisse serait 20/120 × 100 ≈ 16,67 %.

Pour comparer un taux qui passe de 5 % à 8 %, la différence est de trois points de pourcentage.
L’augmentation relative du taux est (8 − 5) ÷ 5 × 100 = 60 %.
Dire simplement « le taux augmente de 3 % »
est ambigu et peut être faux si l’on veut parler d’une hausse relative.
Les points comparent directement les nombres de pourcentage ;
la variation relative compare la différence à la valeur initiale.
Précisez lequel vous utilisez.

Un taux peut donner un nombre non entier :
2,5 % de 30 pièces valent 0,75 pièce mathématiquement.
Cela ne peut pas décrire exactement un nombre observé de pièces entières rejetées dans ce lot.
Il peut s’agir d’un objectif, d’une moyenne ou d’un taux arrondi.
Pour un comptage réel, calculez le taux à partir des nombres entiers observés.
Ne fabriquez pas une fraction de pièce et ne l’arrondissez pas sans expliquer la décision demandée.

7. Application industrielle

Dans un contrôle fictif de 500 pièces, 20 sont rejetées.
Le taux de rejet vaut 20 ÷ 500 × 100 = 4 %.
Les 480 pièces acceptées représentent 96 % du même lot ;
4 % + 96 % = 100 %.
Cela décrit les résultats de ce contrôle, pas une garantie sur le prochain lot.
Si un autre lot contient 1 000 pièces et présente le même taux de 4 %, il contient 40 pièces rejetées.
Comparer seulement les nombres 20 et 40 ferait oublier que les tailles des lots diffèrent.

Supposons ensuite une production passant de 400 à 460 pièces sur deux périodes de même durée.
La hausse est de 60 pièces ;
rapportée à la base initiale de 400, elle vaut 60 ÷ 400 × 100 = 15 %.
Diviser par 460 ne mesurerait pas la même variation relative.
Pour interpréter ce résultat, il faut aussi préciser la durée, les conditions et ce qui est compté.
Un pourcentage facilite une comparaison, mais ne remplace pas les données qui expliquent cette comparaison.

8. Vocabulaire essentiel

• Un pourcentage : une proportion exprimée avec la référence de cent. Exemple : 25 % signifie 25/100.

• La base de calcul : la quantité prise comme référence. Exemple : les 500 pièces contrôlées.

• Un taux : le rapport exprimant une part ou une variation. Exemple : un taux de rejet de 4 %.

• Un coefficient multiplicateur : le nombre qui multiplie la valeur initiale. Exemple : 1,10 pour une hausse de 10 %.

• Un point de pourcentage : l’unité de différence entre deux taux en pourcentage. Exemple : de 5 % à 8 %, trois points.

9. Points de vigilance

N’oubliez pas de diviser le nombre du pourcentage par 100.
Ne confondez pas la partie et le total, ni la remise et le prix après remise.
Ne changez pas la base entre le début et la fin du calcul.
Ne additionnez pas automatiquement deux taux successifs.
Ne confondez pas points de pourcentage et variation relative.
Enfin, indiquez la précision demandée :
gardez les valeurs exactes pendant les étapes et arrondissez seulement le résultat final si nécessaire.

10. Exercice résolu

Un équipement fictif coûte 240 euros avant une remise de 15 %.
Quel est le montant de la remise et le prix final ?
La base est 240 euros.
Le coefficient de la remise est 15/100 = 0,15.
La remise vaut 240 × 0,15 = 36 euros.
Le prix final vaut 240 − 36 = 204 euros.
Par la seconde méthode, on conserve 85 % du prix :
240 × 0,85 = 204 euros.
Les deux résultats concordent.

Contrôlez :
204 + 36 = 240, le prix final est inférieur au prix initial, et 36 ÷ 240 × 100 = 15 %.
Pour retrouver le prix initial à partir de 204 euros et du taux de remise, calculez 204 ÷ 0,85 = 240.
Rédigez deux réponses séparées avec leurs unités :
« La remise est de 36 euros ;
le prix après remise est de 204 euros. »
Répondre seulement 36 euros à la question du prix final serait incorrect, même si le calcul de la remise est juste.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé :
calculez 12 % de 250 pièces, puis la quantité restante si ces pièces constituent la partie rejetée.
Identifiez d’abord la base, puis distinguez la partie et son complément.

Voir la correction

250 × 0,12 = 30 pièces rejetées. Il reste 250 − 30 = 220 pièces, soit 88 % du lot. Vérification : 250 × 0,88 = 220 et 30 + 220 = 250.

Travail autonome :
A.
Trouvez 2,5 % de 800.
B.
Exprimez 15 pièces sur 60 en pourcentage.
C.
Un prix de 80 euros augmente de 10 % ;
trouvez la hausse et le prix final.
D.
Un prix final de 72 euros résulte d’une remise de 10 % ;
retrouvez le prix initial.
E.
Un taux passe de 4 % à 6 % ;
trouvez la différence en points et l’augmentation relative.

Voir la correction

A.
800 × 0,025 = 20.
B.
15 ÷ 60 × 100 = 25 %.
C.
La hausse est 80 × 0,10 = 8 euros ;
le prix final est 88 euros.
D.
Le prix final représente 90 % de l’initial :
72 ÷ 0,90 = 80 euros.
E.
La différence est deux points ;
la hausse relative est (6 − 4) ÷ 4 × 100 = 50 %.

12. Résumé de la méthode

Pour une partie :
total × taux/100.
Pour un taux :
partie ÷ total × 100.
Pour une valeur après hausse :
initial × (1 + taux/100).
Après baisse :
initial × (1 − taux/100).
Pour retrouver l’initial, divisez la valeur finale par son coefficient non nul.
Avant chaque formule, nommez la base et la question.
Après le calcul, contrôlez l’unité, le sens de la variation et une égalité inverse.
Les formules traduisent le raisonnement ;
elles ne choisissent pas la base à votre place.

13. Les cinq mots à retenir

Retenez pourcentage, base de calcul, taux, coefficient multiplicateur et point de pourcentage.
Utilisez l’exemple du prix de 240 euros pour expliquer la base et le coefficient.
Utilisez le passage de 5 % à 8 % pour expliquer les points.
Lisez ensuite ces expressions en français et reformulez leur sens sans regarder la traduction.

14. Mini-test expliqué

Pour chaque question, notez la base avant de saisir une réponse.
Les taux demandés en % doivent être saisis comme leur nombre :
pour 6 %, écrivez 6 dans le champ dont l’unité est %.
Les corrections permettent de revoir le passage au coefficient, le choix du total et les changements successifs de base.

15. Continuer et réviser

Reprenez une erreur en écrivant la phrase « ma base est… »
et en précisant ce que vous cherchez.
Revenez aux fractions pour expliquer 25 % ou à la règle de trois pour reconstruire un calcul.
Le prochain cours abordera les puissances, les racines carrées et la notation scientifique.
Conservez les conversions entre 1 %, 0,01 et 1/100 :
elles aideront à comprendre les nombres très petits et les changements d’échelle.