1. La règle de trois

La règle de trois permet de trouver une quatrième valeur à partir de trois valeurs connues dans une situation proportionnelle.
Son nom ne signifie pas qu’il faut utiliser trois opérations.
Avant de calculer, nous devons comprendre ce qui relie les deux grandeurs.
Nous construirons la méthode à partir du passage par une unité, puis nous expliquerons la formule.
Une formule sans vérification du contexte peut donner un résultat bien calculé mais faux pour la situation.

2. Objectif de la leçon

Vous apprendrez à identifier les données utiles, à ranger les grandeurs dans un tableau, à justifier la proportionnalité et à calculer une valeur manquante.
Vous utiliserez le passage par l’unité et le produit en croix en expliquant chaque étape.
Vous saurez vérifier l’unité, l’ordre de grandeur et le coefficient.
Vous distinguerez ensuite un résultat mathématique exact d’une décision pratique, comme le nombre entier de boîtes à acheter.

3. Comprendre la condition de départ

Si trois kits identiques contiennent ensemble 18 vis, chaque kit contient six vis.
Sept kits identiques contiendront donc 42 vis.
La relation est proportionnelle parce que le contenu par kit reste constant.
Doubler le nombre de kits double le nombre de vis ;
ne prendre aucun kit donne zéro vis.
Les trois données connues sont 3 kits, 18 vis et 7 kits.
La quatrième donnée cherchée est le nombre de vis pour sept kits.

Une seule paire de nombres ne prouve jamais à elle seule une proportionnalité.
« Trois pièces prennent 18 minutes »
ne suffit pas à connaître le temps de sept pièces :
il peut y avoir un réglage initial, des pauses ou plusieurs machines.
La règle de trois exige une relation établie par le contexte, une hypothèse explicitement annoncée ou des données compatibles avec un coefficient constant.
Le mot « identique »
ou « cadence constante »
doit avoir un sens dans le problème.

4. Voir les correspondances

Lisez chaque ligne horizontalement :
trois kits correspondent à 18 vis, un kit à six vis, sept kits à 42 vis.
La première colonne garde toujours les kits et la seconde les vis.
Pour passer de la première ligne à la deuxième, on divise les deux valeurs par trois.
Pour passer de la deuxième à la troisième, on multiplie les deux valeurs par sept.
Appliquer la même transformation aux deux colonnes conserve la correspondance.

5. Explication progressive

Étape 1 — Nommer la question et les unités

Écrivez d’abord ce que vous cherchez :
« le nombre de vis pour sept kits ».
Notez les données avec leurs unités, et non une liste isolée de nombres.
Les valeurs 3 et 7 décrivent la même grandeur ;
18 et la réponse décrivent l’autre.
Si les durées sont données en minutes dans une ligne et en heures dans l’autre, convertissez-les avant d’utiliser le tableau.
Deux colonnes peuvent avoir des unités différentes, mais chaque colonne doit conserver une unité cohérente.

Étape 2 — Passer par une unité

Calculez 18 ÷ 3 = 6 vis par kit.
Cette division cherche le contenu d’un seul kit, en répartissant les 18 vis entre trois kits identiques.
Puis calculez 6 × 7 = 42 vis.
La multiplication reconstruit le contenu de sept kits.
Dire « je divise, puis je multiplie »
ne suffit pas :
il faut pouvoir nommer le résultat intermédiaire.
Ici six n’est ni un nombre de kits ni un temps, mais une quantité de vis par kit.

Étape 3 — Réunir les deux opérations

Le calcul précédent s’écrit 18 × 7 ÷ 3 = 42.
On peut aussi écrire (18 ÷ 3) × 7.
Ces deux écritures donnent la même valeur exacte.
Pour éviter un arrondi intermédiaire, il est souvent utile de garder le calcul sous forme de fraction :
(18 × 7)/3.
Les parenthèses indiquent que le produit entier est divisé par trois.
Ne remplacez pas le diviseur au hasard par un autre nombre du tableau :
le trois représente la quantité de kits associée aux 18 vis.

Étape 4 — Comprendre le produit en croix

Appelons x le nombre de vis recherché.
Le coefficient constant donne 18/3 = x/7.
Multiplier les deux côtés par 3 puis par 7 conserve l’égalité et enlève les dénominateurs :
18 × 7 = 3 × x.
On divise enfin les deux côtés par 3 :
x = (18 × 7)/3 = 42.
Le produit en croix vient donc de l’égalité de deux quotients, pas d’un dessin magique de diagonales.
Les dénominateurs utilisés doivent être non nuls.

Avec les correspondances a vers b et c vers x, la formule est x = b × c ÷ a, si a est non nul et si la relation est proportionnelle.
Les lettres représentent des places dans le tableau, pas des unités universelles.
Si vous échangez les colonnes, reconstruisez les correspondances avant de calculer.
Pour retrouver le nombre de kits correspondant à 42 vis, le coefficient inverse est 1/6 kit par vis et le calcul devient 42 ÷ 6 = 7 kits.

Étape 5 — Contrôler avant de conclure

Sept kits sont plus nombreux que trois :
avec le même contenu, la réponse doit dépasser 18 vis.
Le résultat 42 satisfait ce premier contrôle.
Vérifiez ensuite 42 ÷ 7 = 6 et 18 ÷ 3 = 6 :
le coefficient est identique.
Vérifiez aussi l’égalité 3 × 42 = 18 × 7 = 126.
Ces contrôles repèrent une inversion ou une erreur de calcul, mais ils ne prouvent pas que votre hypothèse de proportionnalité correspond à la réalité ;
cela dépend toujours du contexte.

6. Exemples et limites

Exemple avec une quantité plus petite :
12 mètres de câble coûtent 30 euros à prix constant, sans frais fixes.
Pour cinq mètres, un mètre coûte 30 ÷ 12 = 2,50 euros ;
cinq mètres coûtent 2,50 × 5 = 12,50 euros.
La réponse est inférieure à 30 euros, ce qui est cohérent.
Le coefficient 5/12 permet également de passer directement de 12 à cinq mètres :
30 × 5/12 = 12,50.
Une règle de trois ne sert donc pas seulement à agrandir.

Exemple avec conversion :
une ligne produit 120 pièces en 30 minutes à cadence constante, sans interruption.
En une heure, soit 60 minutes, elle produit 120 × 60 ÷ 30 = 240 pièces.
Insérer directement le nombre 1 pour une heure dans une colonne en minutes donnerait 4, une réponse fausse.
L’erreur ne vient pas de la multiplication mais du mélange des unités.
Écrivez les unités à chaque ligne pour rendre ce mélange visible.

Contre-exemple :
une intervention demande dix minutes de préparation, puis deux minutes par pièce.
Trois pièces demandent 16 minutes et sept pièces 24 minutes.
La règle de trois donnerait 16 × 7 ÷ 3 ≈ 37,33 minutes, ce qui est faux.
Le temps fixe n’est pas répété pour chaque pièce.
De même, doubler le nombre de personnes ne garantit pas de diviser un temps par deux :
il faudrait d’autres hypothèses sur le partage du travail.
N’appliquez pas automatiquement notre formule à une relation inverse.

7. Application industrielle

Dans un exercice fictif, huit composants identiques nécessitent 2,4 mètres de câble au total, selon une longueur constante par composant.
Pour 25 composants, un composant nécessite 2,4 ÷ 8 = 0,3 mètre et le total vaut 0,3 × 25 = 7,5 mètres.
Si le câble est vendu uniquement en rouleaux de deux mètres, 7,5 ÷ 2 = 3,75 rouleaux exprime un besoin théorique.
Il faut acheter quatre rouleaux entiers, soit huit mètres ;
trois rouleaux ne fourniraient que six mètres.

Les 0,5 mètre restants ne sont pas une marge de sécurité calculée :
c’est seulement la différence entre huit mètres achetés et 7,5 mètres du modèle.
Cet exercice ne tient pas compte des chutes, des connexions ou des contraintes d’installation.
Dans une application réelle, ces données doivent venir des consignes techniques.
Une règle de trois calcule ce que prévoit le modèle annoncé ;
elle ne remplace pas la définition du besoin.

8. Vocabulaire essentiel

• Une grandeur : une quantité que l’on mesure ou compte. Exemple : une longueur en mètres.

• Une correspondance : deux valeurs associées dans la même situation. Exemple : trois kits et 18 vis.

• Le passage par l’unité : chercher la quantité pour un seul élément. Exemple : six vis par kit.

• Le produit en croix : égalité des produits croisés de deux rapports égaux. Exemple : 3 × 42 = 18 × 7.

• Une hypothèse : une condition retenue pour construire le modèle. Exemple : une cadence constante sans interruption.

9. Points de vigilance

Ne croisez pas les nombres avant d’avoir nommé les colonnes.
Ne supposez pas une proportionnalité parce que vous voyez trois nombres.
Ne mélangez pas minutes et heures dans la même colonne.
Ne gardez pas un arrondi intermédiaire si vous pouvez conserver le calcul exact.
Enfin, ne transformez pas automatiquement un résultat décimal en un entier proche :
pour acheter assez de boîtes, il faut parfois prendre l’entier supérieur.
Chaque décision doit répondre à la question posée.

10. Exercice résolu

Une machine produit 150 pièces en 25 minutes à cadence constante.
Combien de pièces produit-elle en une heure et quinze minutes, sans arrêt ?
D’abord, convertissez la durée cherchée :
une heure vaut 60 minutes, donc 60 + 15 = 75 minutes.
Ensuite, 150 ÷ 25 = 6 pièces par minute.
Enfin, 6 × 75 = 450 pièces.
La forme condensée est 150 × 75 ÷ 25 = 450.
Comme 75 est trois fois 25, le nombre de pièces doit aussi tripler.

Vérification :
450 ÷ 75 = 6 pièces par minute, comme 150 ÷ 25.
Les produits croisés donnent 25 × 450 = 150 × 75 = 11 250.
Rédigez :
« Selon l’hypothèse d’une cadence constante sans arrêt, la machine produit 450 pièces en 75 minutes. »
Une réponse de 450 minutes aurait la mauvaise unité ;
une réponse sans mention de l’hypothèse pourrait être prise à tort pour une garantie de production réelle.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé : quatre lots identiques contiennent 28 pièces. Cherchez le contenu d’un lot, puis de neuf lots. Écrivez les unités et vérifiez que le résultat augmente.

Voir la correction

28 ÷ 4 = 7 pièces par lot ; 7 × 9 = 63 pièces. Le coefficient reste sept : 63 ÷ 9 = 7. Le nombre de lots augmente, et 63 dépasse bien 28.

Travail autonome :
A.
Dix mètres coûtent 24 euros sans frais fixes ;
trouvez le prix de 2,5 mètres.
B.
80 pièces sont produites en 20 minutes à cadence constante ;
trouvez la quantité en 45 minutes.
C.
Trois objets demandent cinq minutes de préparation commune puis quatre minutes par objet ;
calculez le temps de huit objets et expliquez pourquoi la règle de trois ne convient pas.
D.
Un besoin de 6,2 mètres doit être couvert par des rouleaux entiers de deux mètres ;
combien en faut-il ?

Voir la correction

A.
24 ÷ 10 = 2,4 euros par mètre ;
2,4 × 2,5 = 6 euros.
B.
80 ÷ 20 = 4 pièces par minute ;
4 × 45 = 180 pièces.
C.
5 + 4 × 8 = 37 minutes ;
le temps fixe de cinq minutes empêche la proportionnalité.
D.
Trois rouleaux donnent six mètres, ce qui ne suffit pas ;
quatre donnent huit mètres.
Le besoin théorique 6,2 ÷ 2 = 3,1 ne signifie pas que l’on peut acheter 3,1 rouleaux.

12. Résumé de la méthode

Nommez la grandeur cherchée et ses unités.
Vérifiez la relation proportionnelle.
Placez les correspondances dans un tableau cohérent.
Cherchez la valeur pour une unité ou écrivez l’égalité des quotients.
Calculez sans arrondi inutile, puis contrôlez le coefficient et l’ordre de grandeur.
Terminez par une phrase qui répond à la question et indique les conditions du modèle.
La règle de trois est une conséquence de la proportionnalité, pas une permission de l’inventer.

13. Les cinq mots à retenir

Retenez grandeur, correspondance, passage par l’unité, produit en croix et hypothèse.
Expliquez chaque mot avec l’exemple des kits, puis lisez son nom français à voix haute.
Pour le passage par l’unité, dites ce que représente le six ;
pour l’hypothèse, dites pourquoi le contenu de chaque kit doit être identique.

14. Mini-test expliqué

Avant de valider chaque réponse, écrivez votre tableau ou votre valeur par unité sur une feuille.
Les corrections expliquent le calcul et la condition qui le rend valable.
Une erreur sert à repérer une étape à reprendre ;
elle ne demande pas de mémoriser aveuglément un autre produit.

15. Continuer et réviser

Reprenez une question incorrecte en nommant les grandeurs et le coefficient.
Si le tableau reste difficile à construire, revenez au cours sur les rapports, ratios et proportions.
La prochaine leçon portera sur les pourcentages :
ils utilisent une référence de cent et prolongent le raisonnement proportionnel.
Conservez votre exemple de passage par l’unité pour le comparer à cette nouvelle écriture.