1. Rapports, ratios et proportions

Comparer deux quantités peut signifier chercher un écart ou chercher combien de fois l’une représente l’autre.
Six pièces et trois pièces diffèrent de trois pièces, mais leur rapport vaut deux.
Un ratio décrit aussi la répartition relative de plusieurs catégories.
La proportionnalité apparaît quand deux quantités varient ensemble avec un même facteur multiplicatif.
Nous distinguerons ces idées pour éviter de traiter toute comparaison comme une règle de trois automatique.

2. Objectif de la leçon

Vous apprendrez à calculer un rapport dans un ordre annoncé, à interpréter un ratio et à reconnaître une situation proportionnelle.
Vous saurez passer d’un ratio entre catégories à leurs parts du total, compléter un tableau avec un coefficient constant et détecter un contre-exemple.
Vous devrez expliquer le rôle des unités et les hypothèses du modèle avant de calculer.
La règle de trois détaillée fera l’objet de la leçon suivante.

3. Comprendre une comparaison par quotient

Le rapport de A à B se calcule A ÷ B, avec B non nul.
Pour A = 6 pièces et B = 3 pièces, le rapport vaut 6/3 = 2 :
A contient deux fois la quantité B.
Dans l’ordre inverse, B/A = 3/6 = 1/2.
L’ordre fait donc partie du sens.
La différence A − B = 3 pièces répond à une autre question :
combien de pièces séparent les deux quantités, et non combien de fois l’une vaut l’autre.

Si les deux quantités mesurent la même grandeur, exprimez-les dans la même unité avant de les comparer.
Le rapport de 2 m à 50 cm ne vaut pas 2/50 :
il faut d’abord une unité commune.
Sans anticiper toutes les conversions, retenez ici que 2 m = 200 cm ;
le rapport est 200/50 = 4.
Les unités identiques se compensent et le rapport est sans unité.
Pour des grandeurs différentes, comme 24 pièces en 3 minutes, le quotient 8 pièces par minute conserve une unité de taux.

4. Voir un ratio et son total

Le ratio A:B = 2:3 se lit « deux pour trois ».
Il signifie que pour deux parts de A, il y a trois parts de B, avec des parts de même taille.
Le total contient donc cinq parts.
La part de A dans le total vaut 2/5 et celle de B vaut 3/5.
Le rapport A/B vaut 2/3, mais ce n’est pas la part de A dans le total.
Le dessin sépare volontairement ces deux dénominateurs :
trois parts de B ou cinq parts au total.

5. Explication progressive

Étape 1 — Conserver le même ratio

Les quantités 4 et 6 ont le ratio 4:6, qui se simplifie en 2:3 en divisant les deux nombres par 2.
Les quantités 8 et 12 ont le même ratio.
Multiplier toutes les parts par le même facteur conserve la répartition ;
ajouter le même nombre ne la conserve généralement pas.
Ainsi 2:3 et 4:5, obtenus en ajoutant 2, sont différents :
2/3 n’est pas égal à 4/5.
Le ratio compare des quantités relatives, pas leurs seuls écarts.

Étape 2 — Répartir un total avec un ratio

Un lot de 30 pièces contient deux catégories dans le ratio A:B = 2:3.
Comptez les parts :
2 + 3 = 5.
Une part vaut 30 ÷ 5 = 6 pièces.
A reçoit deux parts, soit 2 × 6 = 12 pièces ;
B reçoit trois parts, soit 3 × 6 = 18 pièces.
Vérifiez 12 + 18 = 30 et 12/18 = 2/3.
Le total et le ratio doivent être vérifiés séparément :
l’un ne garantit pas l’autre.

Étape 3 — Reconnaître la proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de la première à la seconde en multipliant toujours par un même coefficient.
Pour des kits identiques de 6 vis, 1 kit demande 6 vis, 2 kits demandent 12 vis et 5 kits demandent 30 vis.
Le coefficient de kits vers vis vaut 6 vis par kit.
Doubler le nombre de kits double le nombre de vis ;
tripler le premier triple le second.
Le coefficient dépend de l’ordre des grandeurs et comporte ici une unité.

Dans un tableau, comparez les quotients entre valeurs correspondantes non nulles :
6/1 = 12/2 = 30/5 = 48/8 = 6.
La constance du quotient valide ces données pour le modèle.
Si la première grandeur vaut zéro, on ne calcule pas un quotient en divisant par zéro ;
le modèle proportionnel prédit alors zéro pour la seconde.
Des données arrondies ou mesurées peuvent demander une analyse plus fine, mais les exercices de cette leçon utilisent des valeurs exactes.

Étape 4 — Compléter par un facteur commun

Si 3 kits demandent 18 vis, 9 kits représentent trois fois plus de kits et demandent donc 3 × 18 = 54 vis.
Pour 1 kit, divisez les deux quantités par 3 :
1 kit demande 6 vis.
Pour 7 kits, utilisez le passage par une unité :
7 × 6 = 42 vis.
Vous appliquez le même facteur aux deux grandeurs.
Cette méthode prépare la règle de trois, mais elle exige d’abord que la situation soit réellement proportionnelle.

Étape 5 — Tester un contre-exemple

Une préparation comporte 10 minutes fixes, puis 2 minutes par pièce.
Pour 1 pièce, il faut 12 minutes ;
pour 2 pièces, 14 minutes ;
pour 3 pièces, 16 minutes.
Les quotients sont 12, 7 et environ 5,33 minutes par pièce :
ils ne sont pas constants.
Doubler le nombre de pièces ne double pas le temps total.
Le temps augmente régulièrement de 2 minutes, mais cette augmentation additive n’est pas une proportionnalité.

6. Exemples progressifs

Exemple 1 :
le rapport de 15 à 5 vaut 3, tandis que celui de 5 à 15 vaut 1/3.
Exemple 2 :
le ratio 6:9 se simplifie en 2:3.
Exemple 3 :
dans un total de 20 éléments au ratio 1:4, les cinq parts valent chacune 4 éléments ;
les catégories comptent donc 4 et 16 éléments.
Exemple 4 :
trois pièces pour une pièce donnent un ratio 3:1, mais la première catégorie représente 3/4 du total, pas trois fois le total.

Un rythme théorique constant de 8 pièces par minute donne 24 pièces en 3 minutes et 40 pièces en 5 minutes.
Le nombre de pièces est proportionnel au temps dans ce modèle.
Si l’on ajoute un temps de démarrage, ou si le rythme change, ce modèle ne décrit plus automatiquement le temps total.
Une hypothèse de constance doit être annoncée ;
un seul couple de valeurs ne suffit pas à démontrer que toutes les situations suivent la même proportion.

7. Application industrielle

On prépare des kits strictement identiques contenant 4 vis et 2 rondelles chacun.
Le ratio vis:rondelles est 4:2 = 2:1.
Pour 7 kits, il faut 28 vis et 14 rondelles.
Le total est 42 éléments ;
les vis représentent 28/42 = 2/3 du total.
Le coefficient de kits vers éléments vaut 6 éléments par kit.
Comptez les catégories séparément pour ne pas remplacer un besoin de vis par une quantité globale d’éléments.

8. Vocabulaire essentiel du cours

Un rapport : un quotient qui compare une quantité à une autre dans un ordre choisi. Exemple : 6/3 = 2 compare six pièces à trois pièces.

Un ratio : une répartition relative entre catégories. Exemple : A:B = 2:3 indique deux parts de A pour trois parts de B.

Une proportion : une égalité entre deux rapports. Exemple : 2/3 = 4/6 exprime la même comparaison.

Un coefficient de proportionnalité : le multiplicateur constant qui relie deux grandeurs. Exemple : 6 vis par kit relie les kits aux vis.

Passer par l’unité : chercher la valeur correspondant à une unité, puis multiplier. Exemple : 18 vis pour 3 kits donnent 6 vis par kit.

9. Points importants et erreurs fréquentes

Annoncez l’ordre du rapport.
Unifiez les unités pour des grandeurs de même nature.
Ne confondez pas le ratio A:B avec la fraction A/(A + B).
Ne concluez pas à la proportionnalité parce que les nombres augmentent ou parce que leur différence est constante.
Vérifiez le quotient constant ou justifiez un modèle de répétitions identiques.
Une durée avec une partie fixe mérite une attention particulière.

Un ratio exact ne donne pas toujours des quantités entières compatibles avec un total imposé.
Avec 31 pièces au ratio 2:3, une part vaut 31/5 = 6,2 pièces ;
les catégories donneraient 12,4 et 18,6 pièces.
Si les pièces sont indivisibles, cette répartition exacte n’est pas possible.
Il faut revoir la contrainte ou accepter une répartition approchée explicitement annoncée, plutôt que présenter des arrondis comme un ratio exact.

10. Exercice résolu étape par étape

Énoncé :
répartissez 40 éléments entre deux catégories A et B avec le ratio A:B = 3:2.
Commencez par le nombre total de parts :
3 + 2 = 5.
Une part vaut 40 ÷ 5 = 8 éléments.
La catégorie A contient 3 × 8 = 24 éléments ;
B contient 2 × 8 = 16 éléments.
La part de A dans le total vaut 24/40 = 3/5, et celle de B vaut 16/40 = 2/5.

Contrôle du total :
24 + 16 = 40.
Contrôle du ratio :
24/16 = 3/2.
Contrôle des parts du total :
3/5 + 2/5 = 1.
Si vous preniez 3/2 de 40 pour A, vous obtiendriez 60 éléments, plus que le total :
vous auriez utilisé le rapport A/B au lieu de la part A/(A + B).
Chaque dénominateur doit donc être relié à la question exacte.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé :
4 kits identiques nécessitent 28 vis.
Combien de vis pour 1 kit puis pour 6 kits ?
Quel quotient doit rester constant ?
Écrivez l’unité du coefficient.
Expliquez enfin pourquoi le même calcul ne conviendrait pas si les six kits avaient des contenus différents.

Voir la correction

Un kit demande 28 ÷ 4 = 7 vis ;
six kits demandent 6 × 7 = 42 vis.
Le coefficient est 7 vis par kit :
28/4 = 42/6 = 7.
La répétition d’un contenu identique justifie le modèle.
Si le contenu variait selon le kit, un coefficient unique ne suffirait pas.

En autonomie :
calculez le rapport de 18 à 6 et son inverse ;
simplifiez le ratio 8:12 ;
répartissez 25 éléments au ratio 2:3 ;
complétez 2 kits, 5 kits et 8 kits si chaque kit demande 4 vis.
Enfin, testez les couples nombre de pièces/temps total :
(1 pièce ; 12 minutes), (2 pièces ; 14 minutes) et (3 pièces ; 16 minutes).
Justifiez votre décision par des quotients.

Voir la correction

Les rapports sont 3 et 1/3.
Le ratio 8:12 devient 2:3.
Pour le total 25, cinq parts valent chacune 5 éléments :
A en reçoit 10 et B 15.
Les kits demandent 8, 20 et 32 vis.
Les temps totaux ne sont pas proportionnels aux pièces :
12/1 = 12, mais 14/2 = 7.
Ces deux quotients différents suffisent à rejeter la proportionnalité de ces données.

12. À retenir

Un rapport est un quotient ordonné.
Un ratio décrit des parts relatives ;
additionnez ces parts pour retrouver le total de parts.
La proportionnalité utilise un multiplicateur constant, pas une addition constante.
Vérifiez le modèle, les unités, le total et les contraintes de quantités entières avant de présenter le résultat.

13. Mots à retenir aujourd’hui

Un rapport ;
un ratio ;
une proportion ;
un coefficient ;
passer par l’unité.
Dites en français :
« Je conserve le même ratio », puis « Je vérifie le coefficient de proportionnalité ».
Expliquez pourquoi un ratio 2:3 donne une part de 2/5 pour la première catégorie.

14. Mini-test

Le test vérifie l’ordre d’un rapport, la répartition d’un total et la reconnaissance d’une proportionnalité.
Identifiez ce que le dénominateur représente avant de répondre.
Les exercices de kits supposent des contenus identiques.
Quand un temps fixe apparaît, vérifiez les quotients au lieu d’appliquer directement une règle de proportion.

15. Pour continuer

La prochaine leçon présente la règle de trois avec des calculs expliqués et des contrôles d’ordre de grandeur.
Vous avez déjà le préalable essentiel :
décider si le modèle est proportionnel et annoncer le sens du coefficient.
Si cette décision reste incertaine, refaites les exemples de kits identiques et de préparation avec temps fixe.