1. Passer des fractions aux nombres décimaux

Une fraction et un nombre décimal peuvent décrire la même quantité avec deux écritures différentes.
Trois quarts de mètre peuvent s’écrire 3/4 m ou 0,75 m.
Mais toutes les fractions n’ont pas une écriture décimale qui s’arrête.
Il faut donc distinguer une conversion exacte et une approximation.
Cette distinction vous aidera à lire des mesures et à utiliser une calculatrice sans prendre tous les chiffres affichés pour une égalité exacte.

2. Objectif de la leçon

Vous apprendrez à convertir une fraction par équivalence ou par division, à reconstruire une fraction à partir d’un décimal et à reconnaître une écriture décimale périodique.
Vous distinguerez arrondir et tronquer, puis choisirez une précision explicitement demandée.
Vous devrez conserver l’unité, indiquer si la valeur est exacte et vérifier le résultat par une opération inverse.
Nous travaillerons les arrondis de nombres positifs pour fixer clairement la méthode.

3. Comprendre les deux écritures

Dans 0,75, les chiffres après la virgule indiquent sept dixièmes et cinq centièmes, soit 75 centièmes.
On écrit donc 0,75 = 75/100.
Cette fraction se simplifie en 3/4 en divisant ses deux termes par 25.
Dans l’autre sens, 3/4 = 75/100 en multipliant ses deux termes par 25.
Les centièmes donnent directement l’écriture décimale :
0,75.
Le changement d’écriture conserve la quantité.

La barre de fraction signifie aussi une division :
3/4 = 3 ÷ 4.
Si la division se termine, elle donne une écriture décimale exacte.
Si elle ne se termine pas, la calculatrice montre seulement un nombre limité de chiffres.
Pour 1/3, l’écriture 0,333… signifie que le chiffre 3 se répète sans fin.
Les points indiquent une continuation ;
écrire simplement 0,333 ne désigne que trois chiffres après la virgule.

4. Voir une fraction en centièmes

La grille représente une unité partagée en 100 cases égales.
Les 75 cases colorées représentent 75/100 de l’unité, donc 3/4 ou 0,75.
Chaque ligne complète représente un dixième.
Sept lignes et cinq cases de la ligne suivante donnent sept dixièmes et cinq centièmes.
Les deux lectures décrivent exactement la même surface colorée.
Dessinez ensuite 25 cases :
vous verrez pourquoi 1/4 = 0,25.

5. Explication progressive

Étape 1 — Chercher un dénominateur décimal

Les dénominateurs 10, 100 et 1 000 correspondent aux dixièmes, centièmes et millièmes.
Pour 3/5, multipliez les deux termes par 2 :
6/10 = 0,6.
Pour 7/20, multipliez par 5 :
35/100 = 0,35.
Pour 1/8, multipliez par 125 :
125/1 000 = 0,125.
Le facteur doit être appliqué au numérateur autant qu’au dénominateur, sinon vous changez la valeur.

Placez les zéros nécessaires.
7/100 vaut 0,07, pas 0,7 :
le 7 est dans la position des centièmes.
7/1 000 vaut 0,007.
Pour 125/100, cent centièmes forment une unité et il reste vingt-cinq centièmes :
1,25.
Le nombre de positions après la virgule dépend du dénominateur décimal, pas du seul nombre de chiffres du numérateur.

Étape 2 — Diviser le numérateur par le dénominateur

Pour 17/8, huit entre deux fois dans dix-sept :
2 × 8 = 16, avec un reste de 1 unité.
Cette unité devient 10 dixièmes.
Huit entre une fois dans dix dixièmes, avec un reste de 2 dixièmes :
le premier chiffre après la virgule est 1.
Les 2 dixièmes deviennent 20 centièmes ;
huit entre deux fois, avec un reste de 4 centièmes.
Ceux-ci deviennent 40 millièmes ;
huit entre cinq fois, sans reste.
Résultat exact :
2,125.

Vérifiez 2,125 × 8 = 17.
Pour 3/8, le quotient entier est zéro, puisque 3 est inférieur à 8.
En poursuivant :
30 dixièmes donnent 3 dixièmes et un reste de 6 dixièmes ;
60 centièmes donnent 7 centièmes et un reste de 4 centièmes ;
40 millièmes donnent 5 millièmes sans reste.
On obtient 0,375.
Les échanges entre positions sont les mêmes que dans les calculs décimaux déjà étudiés.

Étape 3 — Reconnaître une valeur périodique

Pour 1 ÷ 3, on part de 10 dixièmes :
trois groupes de trois utilisent neuf dixièmes et laissent un dixième.
Celui-ci devient 10 centièmes ;
le même calcul laisse encore un centième.
Le reste reproduit la même situation à chaque position, donc le chiffre 3 se répète sans fin.
On écrit 1/3 = 0,333… avec cette continuation, mais 1/3 ≈ 0,33 si l’on donne seulement une valeur approchée au centième.
Le signe ≈ se lit « environ égal à ».

Pour savoir si une fraction simplifiée possède une écriture décimale finie, regardez son dénominateur positif.
S’il peut être décomposé uniquement en facteurs 2 et 5, une conversion vers 10, 100 ou une autre unité décimale est possible :
8 = 2 × 2 × 2 en est un exemple.
Un facteur comme 3 qui reste après simplification empêche une écriture finie.
Simplifiez d’abord :
3/6 = 1/2 est fini, même si le dénominateur initial 6 contenait un facteur 3.

Étape 4 — Revenir du décimal à la fraction

Pour 0,08, deux positions après la virgule indiquent des centièmes :
0,08 = 8/100 = 2/25.
Pour 0,125, trois positions indiquent des millièmes :
125/1 000 = 1/8.
Pour 2,75, écrivez 275/100 et simplifiez par 25 :
11/4.
Le nombre peut dépasser 1.
Pour −0,6, gardez le signe :
−6/10 = −3/5.
Vérifiez en divisant à nouveau le numérateur par le dénominateur.

Étape 5 — Arrondir sans confondre avec tronquer

Arrondir au centième signifie choisir une valeur avec deux chiffres après la virgule qui soit la plus proche du nombre.
Pour les nombres positifs étudiés ici, regardez le troisième chiffre :
s’il est inférieur à 5, gardez le centième ;
s’il vaut 5 ou plus, augmentez le centième de 1.
Ainsi 1,234 devient 1,23, tandis que 1,237 devient 1,24.
Pour un milieu exact comme 1,235, nous retenons ici la convention scolaire qui donne 1,24.

Tronquer signifie supprimer les chiffres au-delà de la position choisie, sans chercher le nombre le plus proche.
Tronquer 1,239 au centième donne 1,23 ;
l’arrondir donne 1,24.
Une retenue peut traverser plusieurs positions :
2,995 arrondi au centième donne 3,00.
Conservez autant que possible la valeur exacte pendant le calcul, puis arrondissez le résultat final à la précision demandée.
Une égalité doit rester réservée aux valeurs réellement égales.

6. Exemples progressifs

Exemple 1 :
1/4 = 25/100 = 0,25.
Exemple 2 :
7/4 = 1,75.
Exemple 3 :
0,04 = 4/100 = 1/25.
Exemple 4 :
1/6 = 0,1666… ;
au centième, la valeur approchée est 0,17.
Pour le dernier exemple, 0,17 × 6 = 1,02 ne redonne pas exactement 1 :
cela confirme qu’il s’agit d’une approximation, et non d’une fraction équivalente exacte.

7. Application industrielle

Une longueur théorique de 1 m doit être répartie en trois parts égales.
Chaque part mesure exactement 1/3 m.
Si l’on écrit 0,33 m pour chaque part, le total écrit est 3 × 0,33 = 0,99 m ;
il manque 0,01 m dans ce calcul arrondi.
Il faut donc conserver 1/3 dans la préparation du calcul et choisir la précision finale selon le besoin.
Le nombre de chiffres affichés n’est pas, à lui seul, une preuve de précision de mesure.

8. Vocabulaire essentiel du cours

Exact : sans approximation du nombre. Exemple : 3/4 = 0,75 est une égalité exacte.

Une valeur approchée : un nombre proche de la valeur exacte. Exemple : 0,33 est une valeur approchée de 1/3.

Périodique : dont un groupe de chiffres se répète sans fin. Exemple : dans 0,333…, le chiffre 3 constitue la période.

Arrondir : choisir la valeur la plus proche à une précision donnée, avec une convention pour les milieux exacts. Exemple : 1,237 devient 1,24 au centième.

Tronquer : couper les chiffres après une position choisie. Exemple : 1,239 tronqué au centième devient 1,23.

9. Points importants et erreurs fréquentes

Ne divisez pas le dénominateur par le numérateur :
pour 3/4, le calcul est 3 ÷ 4.
N’oubliez pas les zéros de position dans 0,07.
Ne remplacez pas ≈ par = quand des chiffres ont été supprimés et que la valeur change.
Ne dites pas qu’une fraction est forcément décimale finie.
Enfin, écrire davantage de chiffres ne remplace pas une information sur la qualité réelle d’une mesure.

10. Exercice résolu étape par étape

Énoncé :
écrivez 7/8 m en décimal exact, puis donnez une valeur approchée au centième.
Pour le dénominateur, 8 × 125 = 1 000.
Multipliez aussi le numérateur :
7 × 125 = 875.
Ainsi 7/8 = 875/1 000 = 0,875 ;
la longueur exacte est 0,875 m.
Pour l’arrondi, gardez d’abord 0,87 et regardez le troisième chiffre, qui vaut 5 :
augmentez le centième.
La valeur approchée demandée est 0,88 m.

Contrôle exact :
0,875 × 8 = 7.
Contrôle de l’arrondi :
0,875 est exactement au milieu entre 0,87 et 0,88 ;
notre convention choisit 0,88.
La différence entre 0,88 et 0,875 vaut 0,005 m.
Vous devez écrire 7/8 m ≈ 0,88 m, et non une égalité exacte.
Une réponse utile contient donc le nombre, l’unité et l’indication de précision.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé :
convertissez 9/20 en décimal, puis convertissez 0,45 en fraction irréductible.
Quel facteur transforme 20 en 100 ?
Pourquoi faut-il l’appliquer aux deux termes ?
Dans l’autre sens, quel diviseur commun simplifie 45/100 ?
Répondez avant d’ouvrir la correction.

Voir la correction

9/20 = 45/100 = 0,45 en multipliant les deux termes par 5.
Dans l’autre sens, 0,45 = 45/100 ;
diviser par 5 donne 9/20.
Les nombres 9 et 20 n’ont plus de diviseur commun supérieur à 1.
Les deux chemins reconstruisent la valeur exacte sans arrondi.

En autonomie :
convertissez 3/8 et 11/4 en décimaux exacts ;
convertissez 0,06 et 1,2 en fractions irréductibles ;
arrondissez 1/3 au centième et 2,995 au centième ;
comparez l’arrondi et la troncature de 0,678 au centième.
Pour chaque réponse, indiquez si vous avez conservé la valeur exacte.

Voir la correction

Les conversions exactes sont 0,375 ;
2,75 ;
3/50 ;
6/5.
Les arrondis demandés sont 0,33 et 3,00.
Pour 0,678, l’arrondi donne 0,68, tandis que la troncature donne 0,67.
Les conversions exactes utilisent = ;
les deux opérations qui modifient la valeur fournissent des approximations.
Ne confondez pas la fraction exacte 1/3 avec la fraction 33/100 correspondant exactement à 0,33.

12. À retenir

Une fraction se convertit par une équivalence décimale ou par la division du numérateur par le dénominateur.
Un décimal fini se reconstruit sur 10, 100 ou 1 000 selon les positions.
Une écriture périodique ne s’arrête pas.
Distinguez = et ≈, arrondi et troncature ;
gardez la valeur exacte jusqu’au moment approprié.

13. Mots à retenir aujourd’hui

Exact ;
une valeur approchée ;
périodique ;
arrondir ;
tronquer.
Dites en français :
« Je conserve la fraction exacte », puis « J’arrondis le résultat au centième ».
Expliquez pourquoi 1/3 ≈ 0,33 ne peut pas être remplacé par 1/3 = 0,33.

14. Mini-test

Le test distingue conversion exacte, écriture de fraction et précision demandée.
Pour une réponse décimale, utilisez la virgule française ou le point ;
la correction accepte les deux.
Lisez les mots « exact »
et « au centième »
avant de répondre.
Une approximation correcte à une précision ne remplace pas une valeur exacte demandée.

15. Pour continuer

La prochaine leçon étudie les rapports, les ratios et les proportions.
La même comparaison pourra s’écrire comme une fraction ou comme un quotient décimal.
Continuez quand vous pouvez choisir une écriture exacte, reconnaître une approximation et justifier la précision donnée.