1. Calculer avec les fractions

Calculer avec des fractions demande de distinguer deux questions :
quelle opération décrit la situation, et comment écrire les parts pour effectuer cette opération ?
Additionner des parts impose une taille commune ;
multiplier peut signifier prendre une part d’une part ;
diviser peut signifier compter combien de parts entrent dans une quantité.
Nous expliquerons ces sens avant les formules.
Les règles ne seront solides que si vous pouvez relier chaque calcul à un dessin ou à une quantité.

2. Objectif de la leçon

Vous apprendrez à additionner et soustraire avec un dénominateur commun, à multiplier les fractions et à diviser par une fraction non nulle.
Vous saurez simplifier avant ou après le calcul et conserver les priorités opératoires.
Vous justifierez pourquoi on garde le dénominateur dans une somme, pourquoi on multiplie les dénominateurs dans un produit et pourquoi on inverse le diviseur dans une division.
Travaillez une nouvelle difficulté à la fois.

3. Comprendre la taille des parts

Si vous réunissez deux quarts d’une unité et un quart de la même unité, vous obtenez trois quarts :
2/4 + 1/4 = 3/4.
Vous avez additionné le nombre de quarts, pas modifié leur taille.
Écrire 3/8 serait faux :
des huitièmes sont deux fois plus petits que des quarts.
Pour une somme, le dénominateur est comparable au nom de l’unité de comptage :
on compte des quarts avec des quarts.

Pour 1/2 + 1/4, la moitié et le quart ont des tailles différentes.
Réécrivez la moitié comme deux quarts :
1/2 = 2/4.
La somme devient 2/4 + 1/4 = 3/4.
Changer l’écriture d’une fraction en une fraction équivalente conserve la quantité.
Le dénominateur commun ne crée donc pas de nouvelles parts matérielles ;
il donne une même unité de comptage aux deux quantités.

4. Voir une somme et une part de part

Le premier dessin réunit une moitié et un quart dans une même bande :
trois quarts sont occupés.
Le deuxième partage une surface en trois colonnes et deux lignes, soit six cases égales.
Retenir deux colonnes, puis la moitié de ces deux colonnes, retient deux cases sur six :
1/2 × 2/3 = 2/6 = 1/3.
Le dessin montre pourquoi le produit fait intervenir une nouvelle taille de part.

5. Explication progressive

Étape 1 — Additionner et soustraire au même dénominateur

Pour 3/7 + 2/7, additionnez les numérateurs :
trois septièmes et deux septièmes donnent cinq septièmes, soit 5/7.
Pour 5/7 − 2/7, retirez deux des cinq septièmes :
il reste 3/7.
Dans les deux cas, le dénominateur reste 7.
Avec 2/5 − 4/5, la différence vaut −2/5 ;
une soustraction peut donc donner un résultat négatif.
Les règles de signe déjà étudiées s’appliquent au nombre de parts.

Étape 2 — Choisir un dénominateur commun

Pour 1/3 + 1/4, cherchez un nombre de parts qui peut représenter des tiers et des quarts.
Douze convient :
chaque tiers devient quatre douzièmes et chaque quart devient trois douzièmes.
Ainsi 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12 ;
la somme vaut 7/12.
Le produit des dénominateurs fournit toujours un dénominateur commun lorsque les deux dénominateurs sont non nuls, mais il n’est pas toujours le plus petit.

Pour 1/6 + 1/4, douze suffit :
1/6 = 2/12 et 1/4 = 3/12, donc 5/12.
On aurait aussi pu choisir 24 :
4/24 + 6/24 = 10/24 = 5/12.
Pour 5/6 − 1/4, choisissez encore 12 :
10/12 − 3/12 = 7/12.
À chaque changement de dénominateur, appliquez le même facteur au numérateur.
Recopier le numérateur sans ce changement ferait varier la quantité.

Étape 3 — Multiplier des fractions

Prendre 2/3 de 3/4 d’une bande signifie partager les trois quarts retenus en trois parts égales puis en prendre deux.
Chaque part vaut un quart de la bande ;
deux parts valent deux quarts, soit 1/2.
La règle donne le même résultat :
2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Le produit ne demande pas un dénominateur commun.

Vous pouvez simplifier des facteurs avant de multiplier.
Dans 2/3 × 3/4, le facteur 3 du numérateur global et le facteur 3 du dénominateur global se compensent ;
puis 2 et 4 se simplifient par 2.
Il reste 1/2.
Cette simplification est permise parce que tout le calcul est un produit de facteurs.
Elle ne permet pas de barrer des nombres de part et d’autre d’une addition.
Un entier peut s’écrire avec le dénominateur 1 :
3 = 3/1, donc 3 × 2/5 = 6/5.

Étape 4 — Diviser par une fraction

Dans 3/4 ÷ 1/2, on cherche combien de demi-unités entrent dans trois quarts d’unité.
Trois quarts contiennent une demi-unité entière et encore la moitié d’une demi-unité :
le quotient vaut 1 + 1/2, soit 3/2.
En quarts, le même calcul compare trois quarts à un groupe de deux quarts :
3 ÷ 2 = 3/2.
Diviser par une fraction inférieure à 1 peut donc donner un nombre plus grand que la quantité de départ.

L’inverse de 1/2 est 2/1, car 1/2 × 2/1 = 1.
Multiplier par cet inverse transforme une demi-unité en une unité de comptage.
Pour conserver le rapport, on applique la même transformation à la quantité de départ :
3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2.
D’où la règle :
diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.
On inverse le diviseur, jamais automatiquement la première fraction.

Pour 2/3 ÷ 4/5, multipliez 2/3 par 5/4 :
10/12 = 5/6.
Vérifiez en multipliant le quotient par le diviseur :
5/6 × 4/5 = 20/30 = 2/3.
Le diviseur ne doit pas être nul ;
un nombre comme 0/5 vaut zéro et ne peut donc pas servir de diviseur.
Son inverse demanderait un dénominateur zéro.
Les dénominateurs de toutes les fractions utilisées doivent aussi être non nuls.

6. Exemples progressifs

Exemple 1 :
1/5 + 3/5 = 4/5.
Exemple 2 :
3/4 − 1/2 = 3/4 − 2/4 = 1/4.
Exemple 3 :
3/5 × 10 = 30/5 = 6 ;
c’est aussi trois cinquièmes d’un lot de dix.
Exemple 4 :
1/2 ÷ 1/4 = 2, car deux quarts entrent dans une moitié.
Reliez chaque résultat à la taille des parts ou au nombre de groupes, au lieu de réciter une règle unique pour toutes les opérations.

Les priorités restent valables :
1/2 + 1/3 × 3/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4.
Avec des parenthèses, le calcul change :
(1/2 + 1/3) × 3/4 = 5/6 × 3/4 = 15/24 = 5/8.
Avec un signe négatif :
−1/3 + 1/2 = −2/6 + 3/6 = 1/6.
L’addition compte les parts signées ;
le produit applique sa propre règle de signes.

7. Application industrielle

Une longueur de câble disponible est 3/2 m.
On prévoit des segments théoriques de 1/4 m.
Le nombre de segments est 3/2 ÷ 1/4 = 3/2 × 4/1 = 12/2 = 6.
Contrôle :
six segments de 1/4 m donnent 6 × 1/4 = 6/4 = 3/2 m.
Il s’agit d’un modèle de répartition de longueur ;
les pertes de coupe ou les longueurs de raccordement devraient être ajoutées pour une préparation réelle.

8. Vocabulaire essentiel du cours

Un dénominateur commun : une même taille de part pour plusieurs fractions. Exemple : les tiers et les quarts peuvent être exprimés en douzièmes.

Un multiple : un nombre obtenu en multipliant un entier par un entier. Exemple : 12 est un multiple de 3 et de 4, utile pour le dénominateur commun.

Un facteur : un nombre qui intervient dans un produit. Exemple : dans 2 × 3, 2 et 3 sont des facteurs que l’on peut parfois simplifier avec ceux du dénominateur.

L’inverse : le nombre qui donne 1 quand on le multiplie par le nombre initial non nul. Exemple : l’inverse de 2/3 est 3/2.

Vérifier un quotient : multiplier le quotient par le diviseur pour retrouver le dividende. Exemple : 3/2 × 1/2 = 3/4 vérifie 3/4 ÷ 1/2.

9. Points importants et erreurs fréquentes

Pour une somme, n’additionnez jamais les dénominateurs.
Pour un produit, ne gardez pas automatiquement le dénominateur comme dans une somme.
Pour une division, inversez le diviseur, puis remplacez ÷ par ×.
Simplifiez des facteurs d’un produit, pas des termes séparés par + ou −.
Enfin, une division ne diminue pas toujours le nombre :
1 ÷ 1/4 = 4 compte quatre quarts dans une unité.

Ne confondez pas l’opposé et l’inverse.
L’opposé de 2/3 est −2/3 :
leur somme vaut zéro.
Son inverse est 3/2 :
leur produit vaut 1.
Aucun de ces mots ne remplace l’autre.
Dans les applications, précisez ce que représente le résultat :
6 segments est un nombre de segments, alors que 3/2 m est une longueur.
Deux calculs semblables peuvent produire des unités différentes selon la question.

10. Exercice résolu étape par étape

Deux opérations réservent respectivement 1/3 et 1/4 d’un même créneau de travail de 12 minutes, sans chevauchement.
Quelle fraction du créneau reste disponible, et combien de minutes cela représente-t-il ?
Les parts réservées s’ajoutent :
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.
Le créneau entier vaut 12/12.
La part restante est donc 12/12 − 7/12 = 5/12.

Un douzième du créneau vaut 12 ÷ 12 = 1 minute ;
cinq douzièmes valent 5 minutes.
Contrôle par les durées :
le tiers de 12 minutes vaut 4 minutes et le quart vaut 3 minutes ;
il reste 12 − 4 − 3 = 5 minutes.
Contrôle par les fractions :
7/12 + 5/12 = 1.
La somme des durées suppose ici deux réservations successives dans le même créneau, pas deux opérations exécutées en parallèle.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé :
calculez 3/4 − 1/6.
Cherchez un dénominateur commun à 4 et 6.
Écrivez les deux fractions équivalentes, puis soustrayez les numérateurs.
Pour contrôler, additionnez la quantité retirée au résultat :
vous devez retrouver 3/4.

Voir la correction

Le dénominateur 12 convient :
3/4 = 9/12 et 1/6 = 2/12.
La différence vaut 7/12.
Contrôle :
7/12 + 2/12 = 9/12 = 3/4.
On ne retire pas 1 de 3 et 6 de 4 :
les quantités initiales doivent d’abord être comptées avec des parts de même taille.

En autonomie :
calculez 2/5 + 1/5 ;
1/2 + 1/3 ;
5/6 − 1/3 ;
2/3 × 9/10 ;
3/5 ÷ 2/5 ;
−1/4 + 3/4.
Puis comptez les segments théoriques de 1/4 m dans 2 m.
Écrivez la règle choisie pour chaque opération et simplifiez les résultats quand c’est possible.

Voir la correction

Les résultats sont 3/5 ;
5/6 ;
1/2 ;
3/5 ;
3/2 ;
1/2.
Pour le produit, 2/3 × 9/10 = 18/30 = 3/5.
Pour la division, 3/5 × 5/2 = 15/10 = 3/2.
Pour l’addition signée, −1/4 + 3/4 = 2/4 = 1/2.
Enfin 2 ÷ 1/4 = 8 segments ;
huit quarts de mètre reconstituent les deux mètres.

12. À retenir

Addition et soustraction :
une taille de part commune, puis calcul des numérateurs.
Multiplication :
produit des numérateurs sur produit des dénominateurs.
Division :
multiplication par l’inverse du diviseur non nul.
Simplifiez des facteurs et contrôlez le sens, les signes, les priorités et les unités.

13. Mots à retenir aujourd’hui

Un dénominateur commun ;
un multiple ;
un facteur ;
l’inverse ;
vérifier un quotient.
Dites en français :
« Je transforme les fractions en douzièmes », puis « Je multiplie par l’inverse du diviseur ».
Expliquez pourquoi l’inverse de 2/3 n’est pas son opposé.

14. Mini-test

Les questions mélangent les quatre opérations pour vérifier que vous choisissez la règle adaptée.
Lisez le signe de l’opération avant les chiffres.
Les choix donnent des résultats exacts sous forme de fraction ;
pour un nombre de segments ou une durée, répondez avec la quantité demandée.
Après correction, refaites au moins une opération inverse pour justifier votre réponse.

15. Pour continuer

La prochaine leçon reliera les fractions aux nombres décimaux.
Vous pourrez alors choisir une écriture adaptée à une mesure ou à un calcul, et distinguer une valeur exacte d’une valeur arrondie.
Avant de continuer, vérifiez que vous savez expliquer le dénominateur commun et le rôle de l’inverse dans une division.