1. Nombres positifs et négatifs

Compter des pièces donne habituellement un nombre positif ou zéro.
Mais certaines grandeurs décrivent une position par rapport à une référence :
une température sous zéro, un déplacement dans un sens choisi ou un écart à une consigne.
Un nombre négatif n’est pas une quantité « impossible ».
Il indique que l’on se trouve de l’autre côté du zéro défini.
Nous allons relier les signes à des déplacements avant de calculer.

2. Objectif de la leçon

Vous apprendrez à lire un nombre signé, à le placer sur une droite, à comparer deux valeurs et à calculer une somme ou une différence.
Vous distinguerez le signe du nombre et le signe de l’opération.
Vous comprendrez l’opposé et la distance à zéro, puis le signe d’un produit ou d’un quotient.
L’objectif est de pouvoir expliquer chaque signe dans un calcul simple, en conservant la référence et l’unité du problème.

3. Comprendre le zéro et les signes

Une droite graduée possède une origine, notée 0, et un sens positif choisi vers la droite.
Les nombres positifs sont à droite du zéro et les négatifs à gauche.
Le nombre +4 peut s’écrire 4 ;
le nombre −4 garde son signe.
Zéro n’est ni positif ni négatif au sens strict.
En technique, la référence doit être annoncée :
un déplacement de −4 mm n’a de sens que si l’origine et le sens positif sont connus.

Dans 3 + (−5), le signe + relie deux nombres :
c’est l’addition.
Le signe − à l’intérieur des parenthèses appartient au second nombre :
c’est « moins cinq ».
Dans 3 − (−5), le premier − est une soustraction et le second est le signe du nombre retiré.
Les parenthèses rendent ces rôles visibles.
Lire à voix haute « trois moins le nombre moins cinq »
est plus précis que dire seulement « deux moins ».

4. Voir les positions sur une droite

Tracez une ligne horizontale et placez ces positions avec des intervalles égaux.
Deux nombres opposés, comme −5 et +5, sont à la même distance de zéro mais de côtés différents.
La distance à zéro est la valeur absolue :
|−5| = 5 et |+5| = 5.
Les barres verticales se lisent « valeur absolue ».
Une distance n’est pas négative ;
le signe donne le côté, et la valeur absolue donne l’éloignement.

5. Explication progressive

Étape 1 — Comparer des nombres signés

Le nombre le plus à droite est le plus grand.
Ainsi −2 est plus grand que −5 :
on écrit −2 > −5.
Une température de −2 °C est plus élevée qu’une température de −5 °C, même si 2 est inférieur à 5.
Parmi des nombres négatifs, le plus éloigné de zéro est le plus petit.
Ne comparez donc pas seulement les chiffres :
placez aussi les signes sur la droite.
Tout nombre négatif est inférieur à zéro et à tout nombre positif.

Étape 2 — Ajouter : penser à un déplacement

Pour 3 + (−5), partez de 3 et déplacez-vous de cinq unités vers la gauche :
vous arrivez à −2.
Pour −4 + 6, partez de −4 et avancez de six unités vers la droite :
vous arrivez à +2.
Le signe du nombre ajouté indique le sens du déplacement.
Traverser zéro ne demande aucune règle supplémentaire :
comptez les intervalles, pas seulement les marques que vous voyez.

Deux nombres de même signe renforcent le même sens.
Pour −3 + (−4), additionnez les distances 3 + 4 = 7 et gardez le signe négatif :
−7.
Pour +3 + (+4), vous obtenez +7.
Deux nombres de signes différents se compensent partiellement.
Dans −9 + 4, quatre unités positives compensent quatre des neuf unités négatives ;
il reste cinq unités négatives, donc −5.
Comparez les valeurs absolues pour savoir quel signe reste.

Étape 3 — Comprendre l’opposé et soustraire

L’opposé d’un nombre annule ce nombre quand on les additionne :
5 + (−5) = 0.
L’opposé de −5 est donc +5, et l’opposé de zéro est zéro.
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Ainsi 3 − 5 = 3 + (−5) = −2, tandis que 3 − (−5) = 3 + 5 = 8.
Retirer un déplacement vers la gauche produit l’effet inverse :
un déplacement vers la droite.

Pour −4 − 7, remplacez la soustraction par l’addition de −7 :
−4 + (−7) = −11.
Pour −4 − (−7), ajoutez +7 :
−4 + 7 = 3.
Les mots « moins par moins donne plus »
concernent un produit ;
ils ne suffisent pas pour expliquer une somme ou une soustraction.
Avant d’appliquer une règle de signes, identifiez toujours l’opération.

Étape 4 — Multiplier et diviser

Trois variations de −2 donnent 3 × (−2) = −6 :
on répète un effet négatif.
Pour comprendre un produit de deux négatifs, partez de 2 + (−2) = 0.
Multiplier cette somme par −3 doit donner zéro.
Le produit (−3) × 2 vaut −6 ;
le produit (−3) × (−2) doit donc valoir +6 pour que leur somme soit zéro.
La règle des signes conserve la cohérence des opérations, elle n’est pas un choix arbitraire.

Pour un produit ou un quotient, deux signes identiques donnent un résultat positif ;
deux signes différents donnent un résultat négatif.
Exemples :
(−4) × (−3) = 12 ;
(−12) ÷ 3 = −4 ;
(−12) ÷ (−3) = 4.
La division se vérifie par la multiplication :
4 × (−3) = −12.
Un produit avec zéro vaut zéro.
Une division par zéro reste impossible, quel que soit le signe du dividende.

Méthode de calcul

Repérez d’abord les nombres et leurs signes.
Identifiez l’opération.
Pour une soustraction, écrivez l’addition de l’opposé.
Pour une addition, comparez les valeurs absolues si les signes diffèrent.
Pour un produit ou un quotient, déterminez le signe puis calculez avec les distances positives.
Dans une expression composée, conservez les priorités du cours précédent.
Enfin, vérifiez le résultat par une droite graduée ou une opération inverse.

6. Exemples progressifs

Exemple 1 :
−6 + 2 = −4, car deux unités positives compensent deux unités négatives.
Exemple 2 :
2 − (−6) = 2 + 6 = 8.
Exemple 3 :
−2,5 + 1,2 = −1,3 ;
la distance négative 2,5 est plus grande que la distance positive 1,2.
Exemple 4 :
(−2,5) × 4 = −10.
Les nombres décimaux suivent les mêmes règles de signe ;
seule la partie numérique du calcul change.

Avec les priorités :
5 + (−3) × 2 = 5 + (−6) = −1.
Les parenthèses autour de −3 montrent un nombre négatif ;
la multiplication reste prioritaire.
Avec un groupe :
(5 + (−3)) × 2 = 2 × 2 = 4.
Ces résultats différents prolongent exactement la distinction étudiée dans la leçon précédente :
il faut identifier le groupe qui est répété.

7. Application industrielle

On définit le déplacement vers la droite comme positif.
Un chariot part de la position −3 mm par rapport à un repère et se déplace de +8 mm.
Sa nouvelle position est −3 + 8 = +5 mm.
Position et déplacement sont deux informations différentes :
−3 mm décrit le départ, +8 mm décrit le changement.
Sans cette distinction, on peut confondre une valeur mesurée avec une action à effectuer.

Pour une consigne de 50 mm et une mesure de 48,5 mm, définissons l’écart comme mesure moins consigne :
48,5 − 50 = −1,5 mm.
Le signe négatif signifie que la mesure est inférieure à la consigne ;
sa valeur absolue 1,5 mm donne l’écart en grandeur.
Ce calcul seul ne permet pas de conclure à la conformité :
il faut connaître les limites de tolérance, étudiées plus tard.

8. Vocabulaire essentiel du cours

Positif : situé du côté positif de zéro. Exemple : +3 mm est une position à droite du repère choisi.

Négatif : situé de l’autre côté de zéro. Exemple : −3 mm est une position à gauche de ce repère.

L’opposé : le nombre qui donne zéro quand on l’ajoute au nombre initial. Exemple : +4 est l’opposé de −4.

La valeur absolue : la distance à zéro. Exemple : |−3| = 3 ; le chariot est à 3 mm du repère.

Une variation : valeur finale moins valeur initiale. Exemple : passer de −4 °C à +7 °C donne une variation de +11 °C.

9. Points importants et erreurs fréquentes

Ne dites pas que −8 est plus grand que −3 parce que 8 est plus grand que 3.
Ne transformez pas −4 + (−2) en +6 :
les deux déplacements sont vers la gauche.
Ne supprimez pas deux signes − sans regarder leur rôle :
dans −4 − 2, ils ne forment pas une soustraction d’un négatif.
Enfin, un nombre négatif n’indique pas automatiquement une panne ou une erreur ;
il peut être une position correcte par rapport à une référence.

10. Exemple entièrement corrigé

Une température passe de −4 °C à +7 °C.
Quelle est sa variation ?
La variation est la valeur finale moins la valeur initiale :
7 − (−4).
Ajoutez l’opposé de −4 :
7 + 4 = +11.
La température a donc augmenté de 11 °C.
Sur une droite, il y a quatre intervalles de −4 à zéro, puis sept de zéro à +7 ;
au total, onze intervalles.

Contrôle :
valeur initiale + variation = valeur finale, donc −4 + 11 = 7.
Si la température revenait de +7 à −4, la variation serait −4 − 7 = −11 °C.
Le signe décrit le sens du changement ;
la distance entre les deux températures reste 11 °C.
Le nombre final 7 n’est pas la variation :
il est la température atteinte.

11. Exercices guidés et autonomes

Exercice guidé :
calculez −6 − (−2).
Identifiez le nombre retiré et son opposé.
Remplacez seulement la soustraction, puis représentez le déplacement sur une droite.
Contrôlez en ajoutant le nombre retiré au résultat :
vous devez retrouver −6.

Voir la correction

Le nombre retiré est −2 ;
son opposé est +2.
On obtient −6 + 2 = −4.
Contrôle :
−4 + (−2) = −6.
Sur la droite, partir de −6 puis avancer de deux unités vers la droite mène à −4, pas à +4.

En autonomie :
comparez −7 et −2 ;
calculez −8 + 3 ;
−3 + (−5) ;
4 − (−3) ;
(−6) × (−2) ;
(−18) ÷ 3 ;
−1,5 + 0,7.
Puis expliquez la différence entre la position −2 mm et un déplacement de −2 mm.
Avant les corrections, associez chaque calcul à sa règle et dessinez une droite pour les deux additions.

Voir la correction

−7 < −2 ;
les résultats sont −5, −8, 7, 12, −6 et −0,8.
Pour −1,5 + 0,7, les signes diffèrent :
1,5 − 0,7 = 0,8, avec le signe négatif de la plus grande valeur absolue.
Une position situe un point par rapport à l’origine ;
un déplacement indique un changement de position.
Le même nombre peut donc décrire deux informations selon la question.

12. À retenir

Le signe situe un nombre par rapport à zéro ;
la valeur absolue est sa distance à zéro.
Sur la droite, le plus à droite est le plus grand.
Soustraire signifie ajouter l’opposé.
Les règles du produit ne doivent pas être appliquées à une somme.
Toute grandeur signée exige une référence claire, et les priorités opératoires restent valables.

13. Mots à retenir aujourd’hui

Positif ;
négatif ;
zéro ;
l’opposé ;
la valeur absolue ;
un écart ;
une variation.
Dites en français :
« La mesure est inférieure à la consigne », puis « La variation est positive ».
Expliquez pourquoi une variation positive peut partir d’une valeur négative et finir à une valeur encore négative :
−10 + 3 = −7.

14. Mini-test

Le test distingue comparaison, addition, soustraction, produit et variation.
Avant de répondre, identifiez l’opération :
cela évite d’utiliser une règle correcte dans le mauvais contexte.
Un résultat signé doit comporter le signe − s’il est négatif.
Après une erreur, utilisez la correction pour reconstruire le sens du calcul avant de recommencer.

15. Pour continuer

Les prochaines leçons porteront sur les fractions.
Conservez vos repères :
une fraction pourra elle aussi être positive ou négative.
Continuez quand vous pouvez expliquer le sens des signes et contrôler une soustraction de négatif.
Si la droite graduée reste difficile à lire, marquez la leçon à revoir et recommencez avec des déplacements de une unité.